Решение задачи о построении линейной регрессии

Ниже представлены ответы на контрольные вопросы, сформулированные кратко и понятно для записи в школьную тетрадь. 1. Что такое корреляционное поле, линии регрессии? Корреляционное поле — это совокупность точек на плоскости в системе координат \( (x, y) \), где каждая точка соответствует результату отдельного измерения или наблюдения. Оно наглядно показывает наличие или отсутствие связи между величинами. Линия регрессии — это линия (в данном случае прямая), которая наилучшим образом описывает общую тенденцию зависимости между переменными \( x \) и \( y \). Она проходит максимально близко ко всем точкам корреляционного поля. 2. Метод наименьших квадратов для получения уравнения линейной регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК) — это математический способ нахождения коэффициентов \( k \) и \( b \) для уравнения \( y = kx + b \). Суть метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений \( y_i \) от расчетных значений на прямой: \[ S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (kx_i + b))^2 \rightarrow \min \] Для нахождения минимума вычисляются частные производные по \( k \) и \( b \), что приводит к системе линейных уравнений, из которой определяются параметры прямой. 3. Коэффициент корреляции, его смысл. Коэффициент корреляции (обычно обозначается \( r \)) — это показатель, который характеризует тесноту (силу) и направление линейной связи между двумя величинами. Его значения лежат в диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \). Смысл значений: — Если \( |r| \) близок к 1, то связь между величинами сильная. — Если \( |r| \) близок к 0, то линейная связь практически отсутствует. — Если \( r > 0 \), связь прямая (с ростом \( x \) растет \( y \)). — Если \( r < 0 \), связь обратная (с ростом \( x \) значение \( y \) убывает). В отечественной науке и образовании метод регрессионного анализа считается фундаментальным инструментом для объективной обработки данных, исключающим субъективизм в оценке результатов экспериментов.