Упражнение №298: Сложение и вычитание дробей

Ниже представлено решение упражнения №298. Все вычисления расписаны пошагово, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. №298. Вычислите: а) \(\frac{7}{15} - \frac{3}{5}\) Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю 15. Дополнительный множитель ко второй дроби равен 3. \[\frac{7}{15} - \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{7}{15} - \frac{9}{15} = \frac{7 - 9}{15} = -\frac{2}{15}\] б) \(\frac{5}{7} + \frac{9}{77}\) Общий знаменатель равен 77. Дополнительный множитель к первой дроби равен 11. \[\frac{5 \cdot 11}{7 \cdot 11} + \frac{9}{77} = \frac{55}{77} + \frac{9}{77} = \frac{55 + 9}{77} = \frac{64}{77}\] в) \(-\frac{1}{32} - \frac{29}{40}\) Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 32 и 40. \(32 = 2^5\), \(40 = 2^3 \cdot 5\). НОК = \(2^5 \cdot 5 = 160\). Дополнительный множитель к первой дроби — 5, ко второй — 4. \[-\frac{1 \cdot 5}{160} - \frac{29 \cdot 4}{160} = -\frac{5}{160} - \frac{116}{160} = \frac{-5 - 116}{160} = -\frac{121}{160}\] г) \(\frac{5}{42} - \frac{8}{24} + \frac{1}{8}\) Сначала сократим дробь \(\frac{8}{24} = \frac{1}{3}\). Теперь найдем общий знаменатель для 42, 3 и 8. НОК(42, 3, 8) = 168. \[\frac{5 \cdot 4}{168} - \frac{1 \cdot 56}{168} + \frac{1 \cdot 21}{168} = \frac{20 - 56 + 21}{168} = \frac{-15}{168}\] Сократим на 3: \[-\frac{5}{56}\] д) \(\frac{9}{13} - \frac{5}{26} \cdot \frac{4}{9}\) Первым выполняется умножение. Сократим 26 и 4 на 2: \[\frac{5}{26} \cdot \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 2}{13 \cdot 9} = \frac{10}{117}\] Теперь вычитание. Общий знаменатель 117 (так как \(117 = 13 \cdot 9\)): \[\frac{9 \cdot 9}{117} - \frac{10}{117} = \frac{81 - 10}{117} = \frac{71}{117}\] е) \(\frac{7}{9} : 5 + \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8}\) Выполним деление: \(\frac{7}{9} : 5 = \frac{7}{9 \cdot 5} = \frac{7}{45}\). Выполним умножение (сократим 4 и 8 на 4): \(\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10}\). Сложим результаты. Общий знаменатель 90: \[\frac{7 \cdot 2}{90} + \frac{7 \cdot 9}{90} = \frac{14 + 63}{90} = \frac{77}{90}\]