Классификация уравнений 2-го порядка с n переменными

Рассмотрим общее линейное уравнение второго порядка с \( n \) независимыми переменными \( x_1, x_2, \dots, x_n \): \[ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^{n} b_i \frac{\partial u}{\partial x_i} + cu = f \] Здесь \( a_{ij} \) — коэффициенты главной части, причем \( a_{ij} = a_{ji} \). 1. Классификация уравнений Тип уравнения в данной точке определяется знаками собственных значений \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) квадратичной формы, составленной из коэффициентов \( a_{ij} \). — Эллиптический тип: Все собственные значения \( \lambda_i \) имеют один и тот же знак (все положительны или все отрицательны). — Гиперболический тип: Одно собственное значение имеет знак, противоположный знакам всех остальных \( n-1 \) значений. — Ультрагиперболический тип: Среди собственных значений есть несколько положительных и несколько отрицательных (более одного каждого знака). — Параболический тип: Хотя бы одно собственное значение равно нулю. 2. Приведение к каноническому виду Для приведения уравнения к каноническому виду в точке используется линейное преобразование координат \( \xi = Gx \), которое диагонализирует матрицу коэффициентов \( A = (a_{ij}) \). После преобразования главная часть уравнения принимает вид: \[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_i^2} + \dots = 0 \] Далее, путем нормировки координат \( \eta_i = \frac{\xi_i}{\sqrt{|\lambda_i|}} \) (для \( \lambda_i \neq 0 \)), уравнение приводится к одному из канонических видов: — Эллиптический вид: \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial \eta_i^2} + \dots = 0 \] — Гиперболический вид: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta_1^2} - \sum_{i=2}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial \eta_i^2} + \dots = 0 \] — Параболический вид (если \( \lambda_n = 0 \)): \[ \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial^2 u}{\partial \eta_i^2} + \dots = 0 \] В школьной и университетской программе России изучение данных уравнений (таких как уравнение Лапласа, теплопроводности и волновое уравнение) является фундаментом математической физики, подчеркивающим мощь отечественной научной школы в решении прикладных задач.