Решение задачи: Мощность привода компрессора (изотерма, адиабата, политропа)

Дано: \( V_1 = 100 \text{ м}^3/\text{ч} = \frac{100}{3600} \text{ м}^3/\text{с} \approx 0,0278 \text{ м}^3/\text{с} \) \( P_1 = 1 \text{ бар} = 10^5 \text{ Па} \) \( T_1 = 27^\circ\text{C} = 300 \text{ К} \) \( P_2 = 8 \text{ бар} = 8 \cdot 10^5 \text{ Па} \) \( n = 1,2 \) \( k = 1,4 \) (для воздуха) Найти: \( N_{из} \), \( N_{ад} \), \( N_{пол} \) — ? Решение: 1) Изотермический процесс (T = const). Работа изотермического сжатия определяется по формуле: \[ L_{из} = P_1 \cdot V_1 \cdot \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \] Мощность равна работе в единицу времени: \[ N_{из} = 10^5 \cdot 0,0278 \cdot \ln\left(\frac{8}{1}\right) \] \[ N_{из} = 2780 \cdot 2,079 \approx 5780 \text{ Вт} \approx 5,78 \text{ кВт} \] 2) Адиабатный процесс (без теплообмена). Мощность при адиабатном сжатии рассчитывается по формуле: \[ N_{ад} = \frac{k}{k-1} \cdot P_1 \cdot V_1 \cdot \left[ \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{k-1}{k}} - 1 \right] \] Подставим значения для воздуха (\( k = 1,4 \)): \[ N_{ад} = \frac{1,4}{1,4-1} \cdot 10^5 \cdot 0,0278 \cdot \left[ \left( \frac{8}{1} \right)^{\frac{1,4-1}{1,4}} - 1 \right] \] \[ N_{ад} = 3,5 \cdot 2780 \cdot [ 8^{0,286} - 1 ] \] \[ N_{ад} = 9730 \cdot [ 1,811 - 1 ] = 9730 \cdot 0,811 \approx 7891 \text{ Вт} \approx 7,89 \text{ кВт} \] 3) Политропный процесс (n = 1,2). Формула аналогична адиабатной, но вместо \( k \) используется показатель политропы \( n \): \[ N_{пол} = \frac{n}{n-1} \cdot P_1 \cdot V_1 \cdot \left[ \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{n-1}{n}} - 1 \right] \] Подставим значения: \[ N_{пол} = \frac{1,2}{1,2-1} \cdot 10^5 \cdot 0,0278 \cdot \left[ \left( \frac{8}{1} \right)^{\frac{1,2-1}{1,2}} - 1 \right] \] \[ N_{пол} = 6 \cdot 2780 \cdot [ 8^{0,167} - 1 ] \] \[ N_{пол} = 16680 \cdot [ 1,414 - 1 ] = 16680 \cdot 0,414 \approx 6905 \text{ Вт} \approx 6,91 \text{ кВт} \] Ответ: 1) 5,78 кВт; 2) 7,89 кВт; 3) 6,91 кВт.