Решение задачи: Элементы криптоанализа и взлом шифра

Экзаменационный билет № 16 Вопрос 1. Элементы криптоанализа: взлом, атака, виды атак. Взлом шифра простого блокнота с периодическим ключом (ко-совпадения, частотный анализ). Криптоанализ — это наука о методах получения открытого текста из зашифрованного без знания ключа. 1. Основные понятия: — Взлом (раскрытие) — процесс нахождения ключа или открытого текста. — Атака — попытка реализации взлома с использованием математических или технических методов. 2. Виды атак: — Атака на основе только шифротекста (самая сложная). — Атака на основе известного открытого текста. — Атака на основе выбранного открытого текста. 3. Взлом шифра с периодическим ключом (шифр Виженера): Если ключ \( k \) имеет длину \( L \), то символы текста, стоящие через \( L \) позиций, зашифрованы одним и тем же символом ключа. — Метод ко-совпадений (индекс совпадения): используется для определения длины ключа \( L \). Индекс совпадения \( IC \) вычисляется по формуле: \[ IC = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i(f_i - 1)}{N(N - 1)} \] где \( f_i \) — частота появления \( i \)-й буквы алфавита, \( N \) — длина текста. Для естественного языка \( IC \) значительно выше, чем для случайного набора букв. — Частотный анализ: после определения длины ключа текст разбивается на \( L \) групп. Каждая группа представляет собой шифр простой замены (сдвиг Цезаря). К каждой группе применяется стандартный частотный анализ (самые частые буквы в русском языке — 'о', 'е', 'а'). Вопрос 2. Эллиптические кривые над конечными полями. Аддитивная группа на множестве точек. Операция сложения элементов: определение, формулы, примеры вычисления. Эллиптическая кривая \( E \) над конечным полем \( F_p \) (где \( p > 3 \)) задается уравнением Вейерштрасса: \[ y^2 = x^3 + ax + b \pmod p \] при условии, что дискриминант \( \Delta = 4a^3 + 27b^2 \neq 0 \pmod p \). 1. Аддитивная группа: Множество точек кривой вместе с бесконечно удаленной точкой \( O \) (нейтральный элемент) образует абелеву группу по операции сложения. 2. Правила сложения точек \( P(x_1, y_1) \) и \( Q(x_2, y_2) \): — Если \( Q = O \), то \( P + O = P \). — Если \( x_1 = x_2 \) и \( y_1 = -y_2 \), то \( P + Q = O \). — В остальных случаях \( P + Q = R(x_3, y_3) \), где: \[ x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2 \pmod p \] \[ y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1 \pmod p \] 3. Вычисление коэффициента \( \lambda \): — Если \( P \neq Q \) (сложение разных точек): \[ \lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \pmod p \] — Если \( P = Q \) (удвоение точки): \[ \lambda = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1} \pmod p \] Пример: Пусть кривая \( y^2 = x^3 + x + 1 \pmod 5 \). Найдем \( 2P \) для точки \( P(0, 1) \). Здесь \( a = 1, x_1 = 0, y_1 = 1 \). \[ \lambda = \frac{3 \cdot 0^2 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5 \] (так как \( 2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod 5 \)). \[ x_3 = 3^2 - 0 - 0 = 9 \equiv 4 \pmod 5 \] \[ y_3 = 3(0 - 4) - 1 = -12 - 1 = -13 \equiv 2 \pmod 5 \] Ответ: \( 2P = (4, 2) \).