Решение задач по геометрии: Вариант 17

Вариант 17. Решение задач. Задача 1. Найдем координаты векторов по рисунку. Координаты вектора равны разности координат конца и начала. Для вектора \(\vec{AE}\): начало \(A(4; 1)\), конец \(E(-1; 3)\). \[\vec{AE} = (-1 - 4; 3 - 1) = (-5; 2)\] Для вектора \(\vec{BM}\): начало \(B(-3; 2)\), конец \(M(-3; -2)\). \[\vec{BM} = (-3 - (-3); -2 - 2) = (0; -4)\] Найдем координаты разности векторов \(\vec{c} = \vec{AE} - \vec{BM}\): \[\vec{c} = (-5 - 0; 2 - (-4)) = (-5; 6)\] Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат: \[|\vec{AE} - \vec{BM}|^2 = (-5)^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\] Ответ: 61. Задача 2. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-6) + (-12) \cdot (-1) = 0\] \[-6x + 12 = 0\] \[-6x = -12\] \[x = 2\] Ответ: 2. Задача 3. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. \[\frac{-3}{24} = \frac{x}{88}\] Сократим левую дробь: \[-\frac{1}{8} = \frac{x}{88}\] \[x = -\frac{88}{8} = -11\] Ответ: -11. Задача 4. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \[\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] Найдем скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 0 + (-8) \cdot (-12) = 0 + 96 = 96\] Найдем длины векторов: \[|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\] \[|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-12)^2} = \sqrt{144} = 12\] Вычислим косинус: \[\cos \alpha = \frac{96}{10 \cdot 12} = \frac{96}{120} = 0,8\] Ответ: 0,8. Задача 5. Длина суммы векторов \(\vec{HP} + \vec{PD}\) по правилу треугольника равна длине вектора \(\vec{HD}\). Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника HPD: \[HD^2 = HP^2 + PD^2 - 2 \cdot HP \cdot PD \cdot \cos(\angle HPD)\] Подставим значения: \[HD^2 = 45^2 + 32^2 - 2 \cdot 45 \cdot 32 \cdot \cos(120^\circ)\] Так как \(\cos(120^\circ) = -0,5\): \[HD^2 = 2025 + 1024 - 2 \cdot 45 \cdot 32 \cdot (-0,5)\] \[HD^2 = 3049 + 45 \cdot 32 = 3049 + 1440 = 4489\] \[|\vec{HP} + \vec{PD}| = \sqrt{4489} = 67\] Ответ: 67.