Задача №579: Площадь прямоугольной трапеции

Задача №579 Дано: ABCD — прямоугольная трапеция. \( \angle A = \angle B = 90^\circ \). Две меньшие стороны равны 6 см. В прямоугольной трапеции это меньшее основание BC и меньшая боковая сторона (высота) AB. \( BC = 6 \) см, \( AB = 6 \) см. Больший угол \( \angle C = 135^\circ \). Найти: \( S_{ABCD} \) — площадь трапеции. Решение: 1. Проведем высоту CH из вершины C к большему основанию AD. Так как \( AB \perp AD \) и \( CH \perp AD \), то ABCH — прямоугольник. Следовательно, \( AH = BC = 6 \) см, \( CH = AB = 6 \) см. 2. Найдем угол HCD. Так как \( \angle BCD = 135^\circ \) и \( \angle BCH = 90^\circ \) (как угол прямоугольника), то: \[ \angle HCD = \angle BCD - \angle BCH = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD (\( \angle CHD = 90^\circ \)). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \), значит: \[ \angle D = 90^\circ - \angle HCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] Так как \( \angle HCD = \angle D = 45^\circ \), треугольник CHD — равнобедренный. Следовательно, \( HD = CH = 6 \) см. 4. Найдем длину большего основания AD: \[ AD = AH + HD = 6 + 6 = 12 \text{ см} \] 5. Вычислим площадь трапеции по формуле: \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB \] \[ S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ см}^2 \] Ответ: 54 \( \text{см}^2 \).