Решение уравнения: log(x) по основанию √3 + log(x) по основанию 9 = 10

Запишем решение уравнения в тетрадь. Дано уравнение: \[ \log_{\sqrt{3}} x + \log_{9} x = 10 \] Решение: 1. Приведем все логарифмы к одному основанию. Удобнее всего привести к основанию 3. Вспомним формулу перехода к новому основанию: \[ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \] 2. Преобразуем первый логарифм: \[ \log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} \sqrt{3}} = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} 3^{1/2}} = \frac{\log_{3} x}{1/2} = 2 \log_{3} x \] 3. Преобразуем второй логарифм: \[ \log_{9} x = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} 9} = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} 3^2} = \frac{\log_{3} x}{2} = \frac{1}{2} \log_{3} x \] 4. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ 2 \log_{3} x + \frac{1}{2} \log_{3} x = 10 \] 5. Вынесем \(\log_{3} x\) за скобки: \[ (2 + 0,5) \log_{3} x = 10 \] \[ 2,5 \log_{3} x = 10 \] 6. Найдем значение логарифма: \[ \log_{3} x = \frac{10}{2,5} \] \[ \log_{3} x = 4 \] 7. По определению логарифма найдем \(x\): \[ x = 3^4 \] \[ x = 81 \] Проверка: Основание логарифма и аргумент должны быть положительными. \(x = 81 > 0\), условие выполняется. Ответ: \(x = 81\).