schoolФизика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Скорость и ускорение материальной точки
help_outlineУсловие задачи
Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: х = At+ Bt³, де А=3 м/с; В= 0,06 м/с³. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t1=0 і t2=3 с. Чому дорівнюють середні значення швидкості і прискорення за перші три секунди руху?..
lightbulbКраткий ответ
Мгновенная скорость и ускорение точки в моменты времени t1=0 и t2=3 с, а также средние значения скорости и ускорения за первые три секунды движения, были найдены с использованием дифференцирования уравнения движения. Результаты представлены в решении.
Подробное решение
Дано:
\[x(t) = At + Bt^3\]
\[A = 3 \text{ м/с}\]
\[B = 0,06 \text{ м/с}^3\]
\[t_1 = 0 \text{ с}\]
\[t_2 = 3 \text{ с}\]
Найти:
\(v_1, v_2, a_1, a_2, \langle v \rangle, \langle a \rangle\) — ?
Решение:
1. Найдем мгновенную скорость как первую производную координаты по времени:
\[v(t) = x'(t) = (At + Bt^3)' = A + 3Bt^2\]
2. Найдем мгновенное ускорение как первую производную скорости по времени:
\[a(t) = v'(t) = (A + 3Bt^2)' = 6Bt\]
3. Вычислим значения скорости в заданные моменты времени:
При \(t_1 = 0\):
\[v_1 = 3 + 3 \cdot 0,06 \cdot 0^2 = 3 \text{ м/с}\]
При \(t_2 = 3 \text{ с}\):
\[v_2 = 3 + 3 \cdot 0,06 \cdot 3^2 = 3 + 1,62 = 4,62 \text{ м/с}\]
4. Вычислим значения ускорения в заданные моменты времени:
При \(t_1 = 0\):
\[a_1 = 6 \cdot 0,06 \cdot 0 = 0 \text{ м/с}^2\]
При \(t_2 = 3 \text{ с}\):
\[a_2 = 6 \cdot 0,06 \cdot 3 = 1,08 \text{ м/с}^2\]
5. Найдем среднюю скорость за первые три секунды. Средняя скорость — это отношение всего перемещения ко времени:
\[\langle v \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(0)}{t_2 - 0}\]
\[x(3) = 3 \cdot 3 + 0,06 \cdot 3^3 = 9 + 1,62 = 10,62 \text{ м}\]
\[x(0) = 0\]
\[\langle v \rangle = \frac{10,62 - 0}{3} = 3,54 \text{ м/с}\]
6. Найдем среднее ускорение за первые три секунды:
\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\]
\[\langle a \rangle = \frac{4,62 - 3}{3 - 0} = \frac{1,62}{3} = 0,54 \text{ м/с}^2\]
Ответ:
\(v_1 = 3 \text{ м/с}\); \(v_2 = 4,62 \text{ м/с}\);
\(a_1 = 0 \text{ м/с}^2\); \(a_2 = 1,08 \text{ м/с}^2\);
\(\langle v \rangle = 3,54 \text{ м/с}\); \(\langle a \rangle = 0,54 \text{ м/с}^2\).