Решение упражнения 296

Ниже представлено подробное решение упражнения 296. Решение оформлено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Упражнение 296. Вычислить: 1) \[ \frac{\log_{2} 24 - \frac{1}{2} \log_{2} 72}{\log_{3} 18 - \frac{1}{3} \log_{3} 72} \] Решение: Преобразуем числитель: \[ \log_{2} 24 - \log_{2} \sqrt{72} = \log_{2} 24 - \log_{2} \sqrt{36 \cdot 2} = \log_{2} 24 - \log_{2} (6\sqrt{2}) = \log_{2} \frac{24}{6\sqrt{2}} = \log_{2} \frac{4}{\sqrt{2}} = \log_{2} \frac{2^2}{2^{1/2}} = \log_{2} 2^{1,5} = 1,5 \] Преобразуем знаменатель: \[ \log_{3} 18 - \log_{3} \sqrt[3]{72} = \log_{3} 18 - \log_{3} \sqrt[3]{8 \cdot 9} = \log_{3} 18 - \log_{3} (2 \cdot \sqrt[3]{9}) = \log_{3} \frac{18}{2 \cdot 3^{2/3}} = \log_{3} \frac{9}{3^{2/3}} = \log_{3} \frac{3^2}{3^{2/3}} = \log_{3} 3^{4/3} = \frac{4}{3} \] Итоговое значение: \[ \frac{1,5}{4/3} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{9}{8} = 1,125 \] 2) \[ \frac{\log_{7} 14 - \frac{1}{3} \log_{7} 56}{\log_{6} 30 - \frac{1}{2} \log_{6} 150} \] Решение: Числитель: \[ \log_{7} 14 - \log_{7} \sqrt[3]{56} = \log_{7} \frac{14}{\sqrt[3]{8 \cdot 7}} = \log_{7} \frac{14}{2 \cdot \sqrt[3]{7}} = \log_{7} \frac{7}{7^{1/3}} = \log_{7} 7^{2/3} = \frac{2}{3} \] Знаменатель: \[ \log_{6} 30 - \log_{6} \sqrt{150} = \log_{6} \frac{30}{\sqrt{25 \cdot 6}} = \log_{6} \frac{30}{5\sqrt{6}} = \log_{6} \frac{6}{\sqrt{6}} = \log_{6} \sqrt{6} = \frac{1}{2} \] Итоговое значение: \[ \frac{2/3}{1/2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] 3) \[ \frac{\log_{2} 4 + \log_{2} \sqrt{10}}{\log_{2} 20 + 3 \log_{2} 2} \] Решение: Числитель: \[ \log_{2} 4 + \log_{2} 10^{1/2} = 2 + \frac{1}{2} \log_{2} 10 \] Знаменатель: \[ \log_{2} (2 \cdot 10) + 3 = \log_{2} 2 + \log_{2} 10 + 3 = 1 + \log_{2} 10 + 3 = 4 + \log_{2} 10 \] Заметим, что знаменатель ровно в 2 раза больше числителя: \[ \frac{2 + 0,5 \log_{2} 10}{4 + \log_{2} 10} = \frac{0,5 (4 + \log_{2} 10)}{4 + \log_{2} 10} = 0,5 \] Ответ: \( 0,5 \) 4) \[ \frac{3 \log_{7} 2 - \frac{1}{2} \log_{7} 64}{4 \log_{5} 2 + \frac{1}{3} \log_{5} 27} \] Решение: Числитель: \[ \log_{7} 2^3 - \log_{7} \sqrt{64} = \log_{7} 8 - \log_{7} 8 = 0 \] Так как числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (это сумма положительных логарифмов), то всё выражение равно 0. Ответ: \( 0 \)