Решение задачи №50(а): Построение графика (x-1)(y+2)=1

Для выполнения задания №50 (а) необходимо изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Задание: \[ (x - 1)(y + 2) = 1 \] Решение: 1. Выразим переменную \(y\) через \(x\). Для этого разделим обе части уравнения на \((x - 1)\). При этом заметим, что \(x - 1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\). \[ y + 2 = \frac{1}{x - 1} \] \[ y = \frac{1}{x - 1} - 2 \] 2. Анализ функции: Данная функция является гиперболой. Ее график получается из графика стандартной гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) путем следующих преобразований: — Сдвиг вдоль оси \(Ox\) на 1 единицу вправо (из-за выражения \(x - 1\) в знаменателе). — Сдвиг вдоль оси \(Oy\) на 2 единицы вниз (из-за вычитания 2). 3. Асимптоты: — Вертикальная асимптота: \(x = 1\). — Горизонтальная асимптота: \(y = -2\). 4. Характерные точки для построения: — Если \(x = 2\), то \(y = \frac{1}{2 - 1} - 2 = 1 - 2 = -1\). Точка (2; -1). — Если \(x = 0\), то \(y = \frac{1}{0 - 1} - 2 = -1 - 2 = -3\). Точка (0; -3). — Если \(x = 1,5\), то \(y = \frac{1}{0,5} - 2 = 2 - 2 = 0\). Точка (1,5; 0). — Если \(x = 0,5\), то \(y = \frac{1}{-0,5} - 2 = -2 - 2 = -4\). Точка (0,5; -4). Инструкция для тетради: 1. Начертите систему координат \(xOy\). 2. Проведите пунктирными линиями асимптоты: вертикальную прямую \(x = 1\) и горизонтальную прямую \(y = -2\). 3. Отметьте вычисленные точки и проведите через них две ветви гиперболы. Одна ветвь будет находиться в первой четверти относительно новых асимптот (справа вверху), вторая — в третьей (слева внизу).