Решение системы неравенств: x < 1

Задание: Решите систему неравенств и укажите наибольшее целое значение \( x \). \[ \begin{cases} \frac{(x-1)^2 - 1}{5} + \frac{x}{2} < \frac{2(x-1)^2 + 3}{10} \\ 1 - x \ge \frac{(2-x) + 1}{2} \end{cases} \] Решение: 1. Решим первое неравенство системы. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю \( 10 \), умножив части выражения на соответствующие множители: \[ \frac{2((x-1)^2 - 1)}{10} + \frac{5x}{10} < \frac{2(x-1)^2 + 3}{10} \] Умножим всё неравенство на \( 10 \): \[ 2(x-1)^2 - 2 + 5x < 2(x-1)^2 + 3 \] Заметим, что слагаемое \( 2(x-1)^2 \) есть в обеих частях, оно сокращается: \[ -2 + 5x < 3 \] \[ 5x < 5 \] \[ x < 1 \] 2. Решим второе неравенство системы. Умножим обе части на \( 2 \), чтобы избавиться от знаменателя: \[ 2(1 - x) \ge (2 - x) + 1 \] \[ 2 - 2x \ge 3 - x \] Перенесем \( x \) влево, а числа вправо: \[ -2x + x \ge 3 - 2 \] \[ -x \ge 1 \] Умножим на \( -1 \), меняя знак неравенства: \[ x \le -1 \] 3. Найдем общее решение системы, объединив полученные результаты: \[ \begin{cases} x < 1 \\ x \le -1 \end{cases} \] Общим решением является промежуток \( x \in (-\infty; -1] \). 4. Выберем наибольшее целое значение \( x \). В промежуток \( (-\infty; -1] \) входят числа \( -1, -2, -3 \) и так далее. Самым большим из них является число \( -1 \) (так как точка закрашенная из-за знака \( \le \)). Ответ: -1