Решение системы неравенств: x/3 + x/4 ≤ 7, 2 - x/5 < 0, x/6 ≥ 0

Задание: Решите систему неравенств и укажите наименьшее целое решение. \[ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} \le 7 \\ 2 - \frac{x}{5} < 0 \\ \frac{x}{6} \ge 0 \end{cases} \] Решение: 1. Решим первое неравенство. Приведем дроби к общему знаменателю \( 12 \): \[ \frac{4x + 3x}{12} \le 7 \] \[ \frac{7x}{12} \le 7 \] Умножим обе части на \( 12 \): \[ 7x \le 84 \] Разделим на \( 7 \): \[ x \le 12 \] 2. Решим второе неравенство: \[ 2 - \frac{x}{5} < 0 \] Перенесем \( 2 \) в правую часть: \[ -\frac{x}{5} < -2 \] Умножим обе части на \( -5 \). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется: \[ x > 10 \] 3. Решим третье неравенство: \[ \frac{x}{6} \ge 0 \] Умножим на \( 6 \): \[ x \ge 0 \] 4. Найдем пересечение всех трех решений: \[ \begin{cases} x \le 12 \\ x > 10 \\ x \ge 0 \end{cases} \] Общим решением системы является промежуток: \[ 10 < x \le 12 \] Или в виде интервала: \( x \in (10; 12] \). 5. Найдем наименьшее целое решение в этом промежутке. Целые числа, входящие в промежуток: \( 11 \) и \( 12 \). Число \( 10 \) не входит, так как неравенство строгое (\( x > 10 \)). Наименьшим целым числом является \( 11 \). Ответ: 11