Формулы по Алгебре и Геометрии 5-9 класс: Полный Справочник для Школьников

Ниже представлены основные формулы по алгебре и геометрии, структурированные для удобного переписывания в школьную тетрадь. Алгебра (5-9 классы) 1. Свойства степеней: \[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\] \[\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\] \[(a^n)^m = a^{n \cdot m}\] \[(ab)^n = a^n \cdot b^n\] \[(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\] \[a^0 = 1; \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}\] 2. Формулы сокращенного умножения: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\] \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\] \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\] \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\] \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\] 3. Квадратные уравнения: Общий вид: \(ax^2 + bx + c = 0\) Дискриминант: \[D = b^2 - 4ac\] Корни: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] Теорема Виета: \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] 4. Арифметическая прогрессия: \[a_n = a_1 + d(n - 1)\] \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] 5. Геометрическая прогрессия: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\] \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\] Геометрия (7-9 классы) 1. Треугольник: Сумма углов: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2}ah\] \[S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\] Формула Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\], где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) 2. Прямоугольный треугольник: Теорема Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] Тригонометрические соотношения: \[\sin \alpha = \frac{a}{c}; \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}; \quad tg \alpha = \frac{a}{b}\] 3. Четырехугольники (Площади): Квадрат: \(S = a^2\) Прямоугольник: \(S = ab\) Параллелограмм: \(S = ah = ab \sin \alpha\) Ромб: \(S = \frac{1}{2}d_1 d_2\) Трапеция: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\) 4. Окружность и круг: Длина окружности: \(C = 2\pi r\) Площадь круга: \(S = \pi r^2\) 5. Теоремы синусов и косинусов (9 класс): Теорема косинусов: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\] Теорема синусов: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\] 6. Координаты и векторы: Расстояние между точками: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Скалярное произведение векторов: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha\]