Решение тригонометрических задач: пример оформления

Вот подробное решение задач из первого варианта, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Вычислить: а) Найти \(\cos x\) и \(\tan x\), если \(\sin x = -\frac{\sqrt{13}}{4}\) и \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\) (III четверть). 1) Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{13}{16} = \frac{3}{16} \] Так как \(x\) в III четверти, косинус отрицательный: \[ \cos x = -\sqrt{\frac{3}{16}} = -\frac{\sqrt{3}}{4} \] 2) Находим тангенс: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\sqrt{13}/4}{-\sqrt{3}/4} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} \] Задание 2. Упростить: а) \(\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha\) б) \(\cos^2 \alpha \tan^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha + 1) = \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1\) Задание 3. Найти значение выражения: а) \(\frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{4\sin \alpha + 3\cos \alpha}\), если \(\tan \alpha = \frac{3}{8}\). Разделим числитель и знаменатель на \(\cos \alpha\): \[ \frac{2\tan \alpha - 3}{4\tan \alpha + 3} = \frac{2 \cdot \frac{3}{8} - 3}{4 \cdot \frac{3}{8} + 3} = \frac{\frac{3}{4} - 3}{\frac{3}{2} + 3} = \frac{-2,25}{4,5} = -0,5 \] б) \(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha\), если \(\sin \alpha + \cos \alpha = 0,8\). Разложим как разность квадратов: \[ (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot 1 \] Возведем условие \(\sin \alpha + \cos \alpha = 0,8\) в квадрат: \[ \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0,64 \Rightarrow 1 + \sin 2\alpha = 0,64 \Rightarrow \sin 2\alpha = -0,36 \] Используем формулу \((\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha = 1 - (-0,36) = 1,36\). Тогда \(\sin \alpha - \cos \alpha = \pm \sqrt{1,36}\). Значение: \(0,8 \cdot (\pm \sqrt{1,36})\). Задание 4. Решить уравнение: \[ 2\cos^2 2x - 3 = \sin 2x (1 - 2\sin 2x) \] \[ 2\cos^2 2x - 3 = \sin 2x - 2\sin^2 2x \] \[ 2(\cos^2 2x + \sin^2 2x) - 3 = \sin 2x \] \[ 2(1) - 3 = \sin 2x \] \[ \sin 2x = -1 \] \[ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Задание 5. Доказать тождество: а) \(\frac{\sin x + \tan x}{1 + \cos x} = \tan x\) Левая часть: \[ \frac{\sin x + \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \cos x} = \frac{\frac{\sin x \cos x + \sin x}{\cos x}}{1 + \cos x} = \frac{\sin x (\cos x + 1)}{\cos x (1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \] \(\tan x = \tan x\). Тождество доказано.