Решение вопросов по дискретной случайной величине

Ответы на вопросы 18–25: 18. Пример дискретной случайной величины: число родившихся детей в семье, количество попаданий в корзину при пяти бросках мяча или число бракованных изделий в партии товара. 19. Распределением вероятностей дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой величины \( x_i \) и их вероятностями \( p_i \). Обычно оно представляется в виде таблицы (ряда распределения). 20. Математическое ожидание \( M(X) \) — это среднее ожидаемое значение случайной величины. Для дискретной величины оно равно сумме произведений всех её возможных значений на их вероятности: \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \] 21. Основные свойства математического ожидания: 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: \( M(C) = C \). 2) Постоянный множитель можно выносить за знак ожидания: \( M(CX) = C \cdot M(X) \). 3) Ожидание суммы равно сумме ожиданий: \( M(X + Y) = M(X) + M(Y) \). 4) Ожидание произведения независимых величин равно произведению их ожиданий: \( M(XY) = M(X) \cdot M(Y) \). 22. Дисперсия \( D(X) \) — это величина, характеризующая меру разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения величины от её среднего значения: \[ D(X) = M(X - M(X))^2 = M(X^2) - (M(X))^2 \] 23. Основные свойства дисперсии: 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: \( D(C) = 0 \). 2) Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: \( D(CX) = C^2 \cdot D(X) \). 3) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: \( D(X + Y) = D(X) + D(Y) \). 4) Дисперсия всегда неотрицательна: \( D(X) \ge 0 \). 24. Распределение Пуассона — это распределение дискретной случайной величины, которая описывает число событий, произошедших за фиксированное время, если события происходят с известной средней интенсивностью \( \lambda \) независимо друг от друга. Формула: \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 25. У пуассоновского распределения математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру \( \lambda \): \[ M(X) = \lambda, \quad D(X) = \lambda \]