Решение задач из Варианта 7024

Ниже представлены решения задач из Варианта 7024, оформленные для записи в тетрадь. Часть 1 Задание 1. Решите уравнение \(\log_{7}(5x + 6) = 2\). Решение: По определению логарифма: \[5x + 6 = 7^2\] \[5x + 6 = 49\] \[5x = 49 - 6\] \[5x = 43\] \[x = 43 : 5\] \[x = 8,6\] Ответ: 8,6 Задание 2. Решите уравнение \(3^{5x + 12} = \frac{1}{27}\). Решение: Приведем обе части к основанию 3: \[3^{5x + 12} = 3^{-3}\] Так как основания равны, приравниваем показатели: \[5x + 12 = -3\] \[5x = -3 - 12\] \[5x = -15\] \[x = -3\] Ответ: -3 Задание 3. Решите уравнение \(\log_{3}(-x) = 2 + \log_{3}(x + 10)\). Решение: ОДЗ: \(-x > 0 \Rightarrow x < 0\) и \(x + 10 > 0 \Rightarrow x > -10\). Итого: \(x \in (-10; 0)\). \[\log_{3}(-x) = \log_{3} 3^2 + \log_{3}(x + 10)\] \[\log_{3}(-x) = \log_{3}(9 \cdot (x + 10))\] \[-x = 9x + 90\] \[-10x = 90\] \[x = -9\] Число -9 входит в ОДЗ. Ответ: -9 Задание 4. Решите уравнение \(5^{x-1} - 5^{x-2} = 100\). Решение: Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем: \[5^{x-2} \cdot (5^1 - 1) = 100\] \[5^{x-2} \cdot 4 = 100\] \[5^{x-2} = 25\] \[5^{x-2} = 5^2\] \[x - 2 = 2\] \[x = 4\] Ответ: 4 Задание 5. Укажите решение неравенства \(\sqrt{20 - 4x} \le 2\). Решение: Возведем в квадрат при условии неотрицательности подкоренного выражения: \[\begin{cases} 20 - 4x \ge 0 \\ 20 - 4x \le 4 \end{cases}\] \[\begin{cases} -4x \ge -20 \\ -4x \le -16 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 4 \end{cases}\] Получаем интервал \([4; 5]\). Это соответствует варианту №2. Ответ: 2 Задание 6. Решите неравенство \(\sqrt{2x + 6} < \sqrt{x^2 + 6}\). Укажите количество целых решений на отрезке \([-10; 10]\). Решение: \[\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ 2x + 6 < x^2 + 6 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \ge -3 \\ x^2 - 2x > 0 \end{cases}\] Решим второе неравенство: \(x(x - 2) > 0\). Корни \(0\) и \(2\). Решение: \(x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\). С учетом \(x \ge -3\), общее решение: \([-3; 0) \cup (2; +\infty)\). Целые числа из отрезка \([-10; 10]\): \(-3, -2, -1\) (3 штуки) и \(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\) (8 штук). Всего: \(3 + 8 = 11\). Ответ: 11 Задание 7. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{5}}^2 x - 3\log_{5} x < -\frac{\log_{3} 25}{\log_{3} 5}\). Решение: Заметим, что \(\log_{\frac{1}{5}} x = -\log_{5} x\), тогда \(\log_{\frac{1}{5}}^2 x = (-\log_{5} x)^2 = \log_{5}^2 x\). Правая часть: \(-\frac{\log_{3} 25}{\log_{3} 5} = -\log_{5} 25 = -2\). Пусть \(t = \log_{5} x\). \[t^2 - 3t + 2 < 0\] Корни уравнения \(t^2 - 3t + 2 = 0\) по теореме Виета: \(t_1 = 1, t_2 = 2\). Решение по \(t\): \(1 < t < 2\). Обратная замена: \[1 < \log_{5} x < 2\] \[5^1 < x < 5^2\] \[5 < x < 25\] Наименьшее целое решение: \(x = 6\). Ответ: 6