Решение задач из Варианта 7025

Ниже представлены решения задач из Варианта 7025, оформленные для записи в тетрадь. Часть 1 Задание 1. Решите уравнение \(\log_{5}(4x + 3) = 2\). Решение: По определению логарифма: \[4x + 3 = 5^2\] \[4x + 3 = 25\] \[4x = 22\] \[x = 22 : 4\] \[x = 5,5\] Ответ: 5,5 Задание 2. Решите уравнение \(6^{2x + 16} = \frac{1}{36}\). Решение: Приведем к одному основанию: \[6^{2x + 16} = 6^{-2}\] \[2x + 16 = -2\] \[2x = -18\] \[x = -9\] Ответ: -9 Задание 3. Решите уравнение \(\log_{4}(-x) = 1 + \log_{4}(x + 5)\). Решение: ОДЗ: \(x < 0\) и \(x > -5\), то есть \(x \in (-5; 0)\). \[\log_{4}(-x) = \log_{4} 4 + \log_{4}(x + 5)\] \[\log_{4}(-x) = \log_{4}(4(x + 5))\] \[-x = 4x + 20\] \[-5x = 20\] \[x = -4\] Корень входит в ОДЗ. Ответ: -4 Задание 4. Решите уравнение \(5^{x+1} + 5^{x-1} = 130\). Решение: Вынесем \(5^{x-1}\) за скобки: \[5^{x-1} \cdot (5^2 + 1) = 130\] \[5^{x-1} \cdot 26 = 130\] \[5^{x-1} = 5\] \[x - 1 = 1\] \[x = 2\] Ответ: 2 Задание 5. Укажите решение неравенства \(\sqrt{27 - 9x} \le 3\). Решение: \[\begin{cases} 27 - 9x \ge 0 \\ 27 - 9x \le 9 \end{cases}\] \[\begin{cases} -9x \ge -27 \\ -9x \le -18 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \le 3 \\ x \ge 2 \end{cases}\] Решение: \([2; 3]\). Это вариант №4. Ответ: 4 Задание 6. Решите неравенство \(\sqrt{2x + 6} < \sqrt{x^2 + 6}\). Укажите количество целых решений на отрезке \([-10; 10]\). Решение: Система: \[\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ 2x + 6 < x^2 + 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -3 \\ x^2 - 2x > 0 \end{cases}\] Решение \(x^2 - 2x > 0\): \(x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\). С учетом \(x \ge -3\): \(x \in [-3; 0) \cup (2; +\infty)\). Целые решения на \([-10; 10]\): \(-3, -2, -1\) и \(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\). Всего 11 решений. Ответ: 11 Задание 7. Решите неравенство \(\log_{2}^2 x + 2\log_{\frac{1}{2}} x < \frac{\log_{3} 8}{\log_{3} 2}\). Решение: Заметим, что \(2\log_{\frac{1}{2}} x = -2\log_{2} x\). Правая часть: \(\frac{\log_{3} 8}{\log_{3} 2} = \log_{2} 8 = 3\). Пусть \(t = \log_{2} x\): \[t^2 - 2t - 3 < 0\] Корни \(t^2 - 2t - 3 = 0\): \(t_1 = 3, t_2 = -1\). Решение по \(t\): \(-1 < t < 3\). Обратная замена: \[-1 < \log_{2} x < 3\] \[2^{-1} < x < 2^3\] \[0,5 < x < 8\] Наибольшее целое решение: \(x = 7\). Ответ: 7