Решение задачи 588: Скалярное произведение векторов в треугольнике

Вот подробное решение задачи. Задача 588. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\), \(CB = 2\) см. Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\); 2) \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\); 3) \(\vec{CB}\) и \(\vec{BA}\). Решение: Для начала нарисуем прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\). Известно: \(\angle C = 90^\circ\) \(\angle A = 30^\circ\) \(CB = 2\) см Найдем остальные углы и стороны треугольника. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). \(\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике: Тангенс угла \(A\): \(\text{tg } A = \frac{CB}{AC}\) \(\text{tg } 30^\circ = \frac{2}{AC}\) Мы знаем, что \(\text{tg } 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Значит, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{AC}\). Отсюда \(AC = 2\sqrt{3}\) см. Синус угла \(A\): \(\text{sin } A = \frac{CB}{AB}\) \(\text{sin } 30^\circ = \frac{2}{AB}\) Мы знаем, что \(\text{sin } 30^\circ = \frac{1}{2}\). Значит, \(\frac{1}{2} = \frac{2}{AB}\). Отсюда \(AB = 4\) см. Итак, мы имеем стороны треугольника: \(CB = 2\) см \(AC = 2\sqrt{3}\) см \(AB = 4\) см Теперь найдем скалярные произведения векторов. Формула скалярного произведения двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выглядит так: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \text{cos } \alpha\), где \(\alpha\) - угол между векторами. 1) Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\). Длина вектора \(\vec{AC}\) равна \(AC = 2\sqrt{3}\). Длина вектора \(\vec{BC}\) равна \(BC = 2\). Угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\) - это угол \(\angle C\). Однако, векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\) исходят из разных точек. Чтобы найти угол между ними, нужно привести их к общему началу. Если мы перенесем вектор \(\vec{BC}\) так, чтобы его начало совпадало с \(C\), то он будет направлен вдоль \(CB\). Вектор \(\vec{AC}\) направлен от \(A\) к \(C\). Вектор \(\vec{BC}\) направлен от \(B\) к \(C\). Угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\) - это угол между направлением от \(A\) к \(C\) и направлением от \(B\) к \(C\). Эти векторы сонаправлены с лучами \(CA\) и \(CB\). Угол между лучами \(CA\) и \(CB\) равен \(\angle C = 90^\circ\). Значит, угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\) равен \(90^\circ\). \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \text{cos } 90^\circ\) Так как \(\text{cos } 90^\circ = 0\), то \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 0 = 0\). 2) Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\). Длина вектора \(\vec{AC}\) равна \(AC = 2\sqrt{3}\). Длина вектора \(\vec{AB}\) равна \(AB = 4\). Угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\) - это угол \(\angle A\), так как оба вектора исходят из точки \(A\). \(\angle A = 30^\circ\). \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \text{cos } 30^\circ\) Мы знаем, что \(\text{cos } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\) \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 4 \cdot 3 = 12\). 3) Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{CB}\) и \(\vec{BA}\). Длина вектора \(\vec{CB}\) равна \(CB = 2\). Длина вектора \(\vec{BA}\) равна \(BA = AB = 4\). Чтобы найти угол между векторами \(\vec{CB}\) и \(\vec{BA}\), нужно привести их к общему началу. Представим, что вектор \(\vec{CB}\) начинается в точке \(B\). Тогда он будет направлен в сторону, противоположную вектору \(\vec{BC}\). Вектор \(\vec{BA}\) направлен от \(B\) к \(A\). Вектор \(\vec{CB}\) направлен от \(C\) к \(B\). Угол между векторами \(\vec{CB}\) и \(\vec{BA}\) - это угол между направлением от \(C\) к \(B\) и направлением от \(B\) к \(A\). Если мы перенесем вектор \(\vec{CB}\) так, чтобы его начало было в точке \(B\), то он будет направлен вдоль луча \(BC\). Тогда угол между вектором \(\vec{BA}\) (направленным от \(B\) к \(A\)) и вектором, сонаправленным с \(\vec{CB}\) (направленным от \(B\) к \(C\)), будет равен углу \(\angle B\) в треугольнике \(ABC\). \(\angle B = 60^\circ\). \(\vec{CB} \cdot \vec{BA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{BA}| \cdot \text{cos } 60^\circ\) Мы знаем, что \(\text{cos } 60^\circ = \frac{1}{2}\). \(\vec{CB} \cdot \vec{BA} = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}\) \(\vec{CB} \cdot \vec{BA} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\). Ответ: 1) \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0\) 2) \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 12\) 3) \(\vec{CB} \cdot \vec{BA} = 4\)