Решение неравенства методом интервалов: f(x) = (x+3)^4 / (x^5(x-2))

Для решения данной задачи воспользуемся методом интервалов для функции: \[ f(x) = \frac{(x + 3)^4}{x^5(x - 2)} \] 1. Найдем корни числителя и знаменателя (критические точки): - Из числителя: \( (x + 3)^4 = 0 \Rightarrow x = -3 \) (корень четной кратности, при переходе через него знак функции не меняется). - Из знаменателя: \( x^5 = 0 \Rightarrow x = 0 \) (корень нечетной кратности, знак меняется). - Из знаменателя: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) (корень нечетной кратности, знак меняется). 2. Расставим знаки на интервалах: - Интервал \( (2; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). Значение \( f(3) = \frac{(3+3)^4}{3^5(3-2)} = \frac{6^4}{243 \cdot 1} > 0 \). Ставим знак «+» (уже указан на картинке). - Интервал \( (0; 2) \): Возьмем \( x = 1 \). Значение \( f(1) = \frac{(1+3)^4}{1^5(1-2)} = \frac{4^4}{1 \cdot (-1)} = -256 < 0 \). Ставим знак «−». - Интервал \( (-3; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). Значение \( f(-1) = \frac{(-1+3)^4}{(-1)^5(-1-2)} = \frac{2^4}{(-1) \cdot (-3)} = \frac{16}{3} > 0 \). Ставим знак «+». - Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмем \( x = -4 \). Значение \( f(-4) = \frac{(-4+3)^4}{(-4)^5(-4-2)} = \frac{(-1)^4}{-1024 \cdot (-6)} = \frac{1}{6144} > 0 \). Ставим знак «+». Заметим, что в точке \( x = -3 \) знак не изменился, так как скобка была в 4-й (четной) степени. Итоговое распределение знаков слева направо: 1. На интервале от \( -\infty \) до \( -3 \): знак «+» 2. На интервале от \( -3 \) до \( 0 \): знак «+» 3. На интервале от \( 0 \) до \( 2 \): знак «−» (этот знак нужно выбрать в выпадающем списке на картинке) 4. На интервале от \( 2 \) до \( +\infty \): знак «+» (уже стоит) Ответ для заполнения пропуска на картинке: знак «−».