Решение задачи: Плюсы и минусы в примере

Для решения задачи воспользуемся методом интервалов для функции: \[ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 9)}{(x - 3)^3} \] 1. Найдем критические точки (корни числителя и знаменателя): - Из числителя: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) - Из числителя: \( x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9 \) - Из знаменателя: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) Все корни находятся в нечетных степенях (первой и третьей), значит, при переходе через каждую точку знак функции будет меняться. 2. Определим знаки на интервалах: - Интервал \( (3; +\infty) \): Возьмем \( x = 4 \). Мы уже вычисляли ранее, что \( f(4) > 0 \). Ставим знак «+» (уже указан на рисунке). - Интервал \( (1; 3) \): Возьмем \( x = 2 \). \[ f(2) = \frac{(2 - 1)(2 + 9)}{(2 - 3)^3} = \frac{1 \cdot 11}{(-1)^3} = \frac{11}{-1} = -11 < 0 \] Ставим знак «−». - Интервал \( (-9; 1) \): Возьмем \( x = 0 \). \[ f(0) = \frac{(0 - 1)(0 + 9)}{(0 - 3)^3} = \frac{-1 \cdot 9}{-27} = \frac{-9}{-27} = \frac{1}{3} > 0 \] Ставим знак «+». - Интервал \( (-\infty; -9) \): Возьмем \( x = -10 \). \[ f(-10) = \frac{(-10 - 1)(-10 + 9)}{(-10 - 3)^3} = \frac{-11 \cdot (-1)}{(-13)^3} = \frac{11}{-2197} < 0 \] Ставим знак «−». Итоговое распределение знаков на координатной прямой (слева направо): 1. От \( -\infty \) до \( -9 \): знак «−» 2. От \( -9 \) до \( 1 \): знак «+» 3. От \( 1 \) до \( 3 \): знак «−» (этот знак нужно выбрать в выпадающем списке на картинке) 4. От \( 3 \) до \( +\infty \): знак «+» Ответ для заполнения пропуска: знак «−».