Примеры заданий ОГЭ по математике 9 класс с решениями

Экзамен ОГЭ по математике состоит из двух частей. Первая часть содержит 19 заданий с кратким ответом, вторая часть — 6 заданий с развернутым решением. Ниже приведен типовой вариант заданий. Задание 1. (Практическая задача). Хозяин участка планирует построить баню. На плане участок имеет прямоугольную форму. Сторона каждой клетки на плане равна 2 метра. Вопрос: Найдите площадь, которую занимает баня. Решение: Если баня на плане занимает 3 на 4 клетки, то ее реальные размеры: \[ 3 \cdot 2 = 6 \text{ м} \] \[ 4 \cdot 2 = 8 \text{ м} \] \[ S = 6 \cdot 8 = 48 \text{ м}^2 \] Ответ: 48. Задание 2. Найдите значение выражения: \[ \frac{1}{4} + 0,05 \] Решение: \[ 0,25 + 0,05 = 0,3 \] Ответ: 0,3. Задание 3. Одно из чисел отмечено на прямой точкой А. Какое это число? (На прямой точка А находится между 2 и 3, ближе к 2). 1) \( \sqrt{3} \) 2) \( \sqrt{7} \) 3) \( \sqrt{11} \) Решение: Так как \( 2 = \sqrt{4} \) и \( 3 = \sqrt{9} \), то число \( \sqrt{7} \) находится в этом промежутке. Ответ: 2. Задание 4. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{5 \cdot 18} \cdot \sqrt{10} \] Решение: \[ \sqrt{5 \cdot 18 \cdot 10} = \sqrt{900} = 30 \] Ответ: 30. Задание 5. (Графики). Установите соответствие между функциями и их графиками. А) \( y = x^2 \) (Парабола) Б) \( y = x \) (Прямая) В) \( y = \frac{1}{x} \) (Гипербола) Ответ: А-парабола, Б-прямая, В-гипербола. Задание 6. Решите уравнение: \[ x^2 - 9 = 0 \] Решение: \[ x^2 = 9 \] \[ x_1 = 3, x_2 = -3 \] Ответ: -33 (или корни через точку с запятой). Задание 7. В среднем из 50 садовых насосов 2 подтекают. Найдите вероятность того, что выбранный насос не подтекает. Решение: \[ 50 - 2 = 48 \text{ (хороших)} \] \[ P = \frac{48}{50} = 0,96 \] Ответ: 0,96. Задание 8. (Геометрия). В треугольнике два угла равны \( 40^\circ \) и \( 60^\circ \). Найдите третий угол. Решение: \[ 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ \] Ответ: 80. Задание 9. (Чертеж окружности). Представьте окружность, в которой проведен вписанный угол \( ABC \), опирающийся на дугу \( AC \). Вопрос: Найдите величину вписанного угла, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( 80^\circ \). Чертеж (схематично): Окружность с центром O. Угол \( \angle AOC = 80^\circ \). Точка B на окружности. Решение: Вписанный угол равен половине центрального. \[ \angle ABC = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] Ответ: 40. Задание 10. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 и 6. Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30 \] Ответ: 30. Задание 11. (Вторая часть, №20). Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \] Решение: Сложим уравнения: \[ 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \] Подставим в первое: \[ 3 + y = 5 \Rightarrow y = 2 \] Ответ: (3; 2). Задание 12. (Вторая часть, №23). Постройте график функции \( y = |x| \). Чертеж: Это "галочка" с вершиной в начале координат (0,0), проходящая через точки (1,1), (2,2) и (-1,1), (-2,2). \[ y = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0 \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases} \] Задание 13. (Геометрия с доказательством). В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Докажите, что площадь треугольника ADE равна четверти площади параллелограмма. Доказательство: 1. Площадь параллелограмма \( S = a \cdot h \). 2. Площадь треугольника \( S_{tr} = \frac{1}{2} \cdot a_{tr} \cdot h \). 3. Так как \( AE = \frac{1}{2} AB \), то: \[ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} AB) \cdot h = \frac{1}{4} S_{ABCD} \] Что и требовалось доказать.