schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи: Расстояние от точки до плоскости
help_outlineУсловие задачи
Напишите решение в пунктах 3,4 как в школе
lightbulbКраткий ответ
На этой странице представлено подробное, оформленное по школьным стандартам решение задачи по геометрии о нахождении расстояния от точки до плоскости. Шаг за шагом, с обоснованиями.
Подробное решение
Ниже представлено оформление решения задачи, которое можно переписать в тетрадь. Оно продолжает логику, начатую на доске.
5.02 Классная работа
Расстояние от точки до плоскости
Дано:
\( \triangle ABC \) — р/ст (равносторонний)
\( AB = 2 \), \( D \notin (ABC) \)
\( AD = BD = 2 \), \( CD = 1 \)
Найти: \( \rho(D, (ABC)) \)
Решение:
1) Пусть т. \( M \) — середина \( AB \).
Тогда \( CM \) — медиана и высота \( \triangle ABC \).
\( DM \) — медиана и высота \( \triangle ADB \) (так как \( \triangle ADB \) равнобедренный, \( AD=BD \)).
2) Рассм. \( \triangle DMC \), проведем высоту \( DH \).
Если \( DH \) будет перпендикулярна \( (ABC) \), то \( DH \) — искомое расстояние.
3) Докажем, что \( AB \perp (DMC) \):
Так как \( AB \perp CM \) и \( AB \perp DM \), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости:
\[ AB \perp (DMC) \Rightarrow AB \perp DH \]
(так как \( DH \) лежит в плоскости \( DMC \)).
4) Так как:
\( DH \perp MC \) (по построению)
\( DH \perp AB \) (из п. 3)
\( AB \cap MC = M \)
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости:
\[ DH \perp (ABC) \Rightarrow DH = \rho(D, (ABC)) \]
Вычислительная часть (для завершения задачи):
Найдем стороны \( \triangle DMC \):
\( CM \) — высота р/ст \( \triangle ABC \):
\[ CM = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]
\( DM \) — высота р/б \( \triangle ADB \). Из \( \triangle ADM \) (\( \angle M = 90^\circ \), \( AM = 1 \)):
\[ DM = \sqrt{AD^2 - AM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} \]
\( CD = 1 \) (по условию).
В \( \triangle DMC \) стороны равны \( \sqrt{3}, \sqrt{3}, 1 \). Это равнобедренный треугольник.
Найдем его площадь через полупериметр или высоту к основанию \( CD \), а затем высоту \( DH \) к стороне \( MC \).
Пусть \( MK \) — высота к \( CD \). \( CK = 0,5 \).
\[ MK = \sqrt{DM^2 - CK^2} = \sqrt{3 - 0,25} = \sqrt{2,75} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \]
\[ S_{DMC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{11}}{4} \]
Также \( S_{DMC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot DH \):
\[ \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot DH \]
\[ DH = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{6} \]
Ответ: \( \frac{\sqrt{33}}{6} \)