Решение задачи: Выбор возрастающих функций

Задание: Выберите все функции, монотонно возрастающие в области определения. Решение: Для решения этой задачи воспользуемся правилом композиции функций: 1. Если внешняя и внутренняя функции обе возрастающие, то их композиция возрастает. 2. Если внешняя и внутренняя функции обе убывающие, то их композиция возрастает (минус на минус дает плюс). 3. Если одна функция возрастает, а другая убывает, то их композиция убывает. Логарифмическая функция \( \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \). Проанализируем варианты: 1) \( f(x) = \log_{0,5} (\log_{0,5} x) \) Внутренняя функция \( \log_{0,5} x \) убывает (основание \( 0,5 < 1 \)). Внешняя функция \( \log_{0,5} u \) также убывает. Композиция двух убывающих функций является возрастающей. Этот вариант подходит. 2) \( f(x) = \log_2 (\log_2 x) \) Внутренняя функция \( \log_2 x \) возрастает (основание \( 2 > 1 \)). Внешняя функция \( \log_2 u \) также возрастает. Композиция двух возрастающих функций является возрастающей. Этот вариант подходит. 3) \( f(x) = \log_{0,5} (\log_2 x) \) Внутренняя функция возрастает, внешняя убывает. Композиция убывает. Не подходит. 4) \( f(x) = \log_2 (\log_{0,5} x) \) Внутренняя функция убывает, внешняя возрастает. Композиция убывает. Не подходит. Ответ: \( \log_{0,5} \log_{0,5} x \) \( \log_2 \log_2 x \) Ниже представлен схематичный график этих функций для тетради: \[ \begin{tikzpicture} \draw[->] (-0.5,0) -- (5,0) node[right] {\(x\)}; \draw[->] (0,-2) -- (0,3) node[above] {\(y\)}; \draw[domain=1.1:4.5, smooth, variable=\x, blue, thick] plot ({\x}, {ln(ln(\x)/ln(2))/ln(2)}); \node[blue] at (4.5, 1.5) {\( \log_2 \log_2 x \)}; \draw[domain=0.1:0.9, smooth, variable=\x, red, thick] plot ({\x}, {ln(ln(\x)/ln(0.5))/ln(0.5)}); \node[red] at (1.5, 2.5) {\( \log_{0,5} \log_{0,5} x \)}; \draw[dashed] (1,0) -- (1,-2); \node at (1, 0.2) {1}; \end{tikzpicture} \] (Примечание для тетради: Обе кривые уходят вверх при движении вправо в своих областях определения. Синяя функция определена при \( x > 1 \), красная — при \( 0 < x < 1 \)).