Параметрические уравнения прямой по графику: Решение

Задание: Укажите параметрические уравнения изображенной кривой. Решение: Проанализируем график. На рисунке изображен отрезок прямой, проходящий через начало координат \( (0;0) \) и соединяющий точки \( (-3; -2) \) и \( (3; 2) \). 1. Определим вид зависимости между \( x \) и \( y \). Так как это прямая, проходящая через начало координат, её уравнение имеет вид \( y = kx \). Подставим координаты точки \( (3; 2) \): \[ 2 = k \cdot 3 \implies k = \frac{2}{3} \] Следовательно, для любой точки на этой кривой должно выполняться соотношение: \[ \frac{x}{3} = \frac{y}{2} \] 2. Проверим предложенные варианты на соответствие этому соотношению: — Вариант 1: \( x = 3\cos^3 t, y = 2\sin^3 t \). Здесь \( \frac{x}{3} = \cos^3 t \), а \( \frac{y}{2} = \sin^3 t \). Соотношение \( \frac{x}{3} = \frac{y}{2} \) не выполняется (это уравнение астроиды). — Вариант 2: \( x = 3\sin t, y = 2\sin t \). Проверим: \[ \frac{x}{3} = \sin t \] \[ \frac{y}{2} = \sin t \] Отсюда следует, что \( \frac{x}{3} = \frac{y}{2} \), что соответствует прямой \( y = \frac{2}{3}x \). Также проверим границы: так как \( \sin t \) принимает значения от \( -1 \) до \( 1 \), то \( x \) меняется от \( -3 \) до \( 3 \), а \( y \) — от \( -2 \) до \( 2 \). Это полностью совпадает с графиком. — Вариант 3: \( x = 3\sin t, y = 2\cos t \). Это уравнение эллипса. Не подходит. — Вариант 4: \( x = 3\sin^3 t, y = 2\cos^3 t \). Это также не является прямой линией. Не подходит. Ответ: \[ \begin{cases} x = 3\sin t, \\ y = 2\sin t \end{cases} \]