Решение задачи №321: Напряженность электрического поля от дуги окружности

Задача №321 Дано: \( R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м} \) \( q = 20 \text{ нКл} = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \) Дуга — \( 1/4 \) окружности (угол \( \alpha = 90^\circ \) или \( \pi/2 \) рад) \( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2 \) Найти: \( E \) — ? Решение: 1. Линейная плотность заряда нити: \[ \lambda = \frac{q}{L} \] Длина четверти окружности \( L = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2} \). Тогда \( \lambda = \frac{2q}{\pi R} \). 2. Выберем малый элемент дуги \( dl = R \cdot d\theta \). Заряд этого элемента \( dq = \lambda \cdot dl = \lambda R \cdot d\theta \). Этот заряд создает в центре \( O \) элементарную напряженность: \[ dE = k \frac{dq}{R^2} = k \frac{\lambda R \cdot d\theta}{R^2} = k \frac{\lambda \cdot d\theta}{R} \] 3. Направим оси координат так, чтобы биссектриса угла дуги совпадала с осью симметрии. Для четверти окружности (от \( -45^\circ \) до \( +45^\circ \)) из соображений симметрии суммарный вектор \( \vec{E} \) будет направлен по этой биссектрисе. Проекция на ось симметрии: \[ dE_x = dE \cdot \cos\theta \] 4. Интегрируем по углу от \( -\pi/4 \) до \( \pi/4 \): \[ E = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} k \frac{\lambda}{R} \cos\theta \, d\theta = \frac{k\lambda}{R} \left[ \sin\theta \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} \] \[ E = \frac{k\lambda}{R} \left( \sin\frac{\pi}{4} - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = \frac{k\lambda}{R} \cdot 2\sin\frac{\pi}{4} = \frac{k\lambda}{R} \cdot \sqrt{2} \] 5. Подставим \( \lambda = \frac{2q}{\pi R} \): \[ E = \frac{k \cdot 2q \cdot \sqrt{2}}{\pi R^2} \] 6. Расчет: \[ E = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 20 \cdot 10^{-9} \cdot 1,41}{3,14 \cdot (0,1)^2} = \frac{360 \cdot 1,41}{3,14 \cdot 0,01} \approx \frac{507,6}{0,0314} \approx 16165 \text{ В/м} \approx 16,2 \text{ кВ/м} \] Ответ: \( E \approx 16,2 \text{ кВ/м} \). Описание рисунка для тетради: 1. Нарисуйте дугу в первой четверти координатной плоскости (от оси \( Y \) до оси \( X \)). 2. Точка \( O \) — начало координат. 3. Вектор \( \vec{E} \) выходит из точки \( O \) и направлен строго под углом \( 45^\circ \) в третью четверть (вниз и влево), так как положительный заряд дуги «отталкивает» пробный заряд в центре. 4. Если рассматривать силы, то на положительный пробный заряд в точке \( O \) будет действовать сила \( \vec{F} \), сонаправленная с вектором \( \vec{E} \).