Решение задачи №2: Площадь сечений конуса

Задача №2 Дано: Конус, высота \( H = 3 \) см. а) Осевое сечение — прямоугольный треугольник. б) Сечение образовано хордой и двумя образующими, угол между которыми \( \alpha = 45^\circ \). Найти: а) \( S_{oc} \) б) \( S_{cech} \) Решение: а) Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, где боковые стороны — образующие \( l \), а основание — диаметр \( D = 2R \). По условию этот треугольник прямоугольный. Так как он равнобедренный, то углы при основании равны \( 45^\circ \). Высота \( H \) в таком треугольнике является медианой и биссектрисой. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \[ H = R = 3 \text{ см} \] Тогда диаметр (основание сечения): \[ D = 2R = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} \] Площадь осевого сечения: \[ S_{oc} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \text{ см}^2 \] б) Для нахождения площади сечения, образованного двумя образующими, сначала найдем длину образующей \( l \). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и радиусом: \[ l^2 = H^2 + R^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \] \[ l = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см} \] Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \( l \) и углом между ними \( 45^\circ \). Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: \[ S_{cech} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(45^\circ) \] \[ S_{cech} = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Подставим значение \( l^2 = 18 \): \[ S_{cech} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} = 4,5\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Ответ: а) \( 9 \text{ см}^2 \); б) \( 4,5\sqrt{2} \text{ см}^2 \). Схематичный рисунок для тетради: 1. Нарисуйте овал (основание конуса). 2. Отметьте центр \( O \) и проведите вверх перпендикуляр \( SO = H = 3 \). 3. Соедините вершину \( S \) с краями овала (образующие). 4. Для пункта (а): проведите диаметр \( AB \). Треугольник \( ASB \) — осевое сечение. Угол \( ASB = 90^\circ \). 5. Для пункта (б): проведите хорду \( CD \) в основании. Соедините \( S \) с \( C \) и \( D \). Треугольник \( SCD \) — искомое сечение. Угол \( CSD = 45^\circ \).