Решение задачи №3: Усеченный конус - площадь сечения и боковой поверхности

Задача №3 Дано: Усечённый конус. Радиус меньшего основания \( r = 3 \) см. Радиус большего основания \( R = 6 \) см. Высота \( h = 4 \) см. Найти: 1) Площадь осевого сечения \( S_{oc} \). 2) Площадь боковой поверхности \( S_{bok} \). Решение: 1) Осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная трапеция. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, а высота трапеции совпадает с высотой конуса. Нижнее основание трапеции: \( a = 2R = 2 \cdot 6 = 12 \) см. Верхнее основание трапеции: \( b = 2r = 2 \cdot 3 = 6 \) см. Высота трапеции: \( h = 4 \) см. Площадь осевого сечения вычисляется по формуле площади трапеции: \[ S_{oc} = \frac{a + b}{2} \cdot h \] \[ S_{oc} = \frac{12 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см}^2 \] 2) Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса необходимо сначала найти его образующую \( l \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и разностью радиусов. По теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} \] \[ l = \sqrt{4^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] Формула площади боковой поверхности усечённого конуса: \[ S_{bok} = \pi \cdot (R + r) \cdot l \] \[ S_{bok} = \pi \cdot (6 + 3) \cdot 5 = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi \text{ см}^2 \] Если принять \( \pi \approx 3,14 \), то \( S_{bok} \approx 45 \cdot 3,14 = 141,3 \text{ см}^2 \). Ответ: \( S_{oc} = 36 \text{ см}^2 \), \( S_{bok} = 45\pi \text{ см}^2 \). Рисунок для тетради: Нарисуйте два овала один над другим (верхний меньше нижнего). Соедините их края наклонными линиями (образующими). Проведите вертикальную линию между центрами овалов — это высота \( h \). Осевое сечение — это трапеция, проходящая через центры обоих кругов.