Решение задачи №4: Площадь поверхности шара

Задача №4 Дано: Шар с центром в точке \( O \). Площадь сечения \( S_{cech} = 16\pi \text{ см}^2 \). Расстояние от центра шара до плоскости сечения \( d = 3 \text{ см} \). Найти: Площадь поверхности шара \( S_{sh} \). Решение: 1) Сечением шара плоскостью всегда является круг. Пусть \( r \) — радиус этого круга. Формула площади круга: \[ S_{cech} = \pi r^2 \] Подставим известное значение площади: \[ 16\pi = \pi r^2 \] \[ r^2 = 16 \] \[ r = 4 \text{ см} \] 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара \( R \), радиусом сечения \( r \) и расстоянием от центра шара до сечения \( d \). В этом треугольнике \( R \) является гипотенузой. По теореме Пифагора: \[ R^2 = r^2 + d^2 \] Подставим значения \( r = 4 \) и \( d = 3 \): \[ R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \] \[ R = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] 3) Вычислим площадь поверхности шара по формуле: \[ S_{sh} = 4\pi R^2 \] Подставим \( R^2 = 25 \): \[ S_{sh} = 4 \cdot \pi \cdot 25 = 100\pi \text{ см}^2 \] Если требуется числовое значение (\( \pi \approx 3,14 \)): \[ S_{sh} \approx 100 \cdot 3,14 = 314 \text{ см}^2 \] Ответ: \( 100\pi \text{ см}^2 \). Рисунок для тетради: 1. Нарисуйте окружность, изображающую шар. 2. Внутри окружности проведите горизонтальный овал (сечение). 3. Отметьте центр шара \( O \) и центр сечения \( O_1 \). 4. Проведите отрезок \( OO_1 = d = 3 \). 5. Проведите радиус сечения \( O_1A = r = 4 \) (точка \( A \) лежит на крае овала). 6. Соедините \( O \) и \( A \) — это радиус шара \( R \). Получится прямоугольный треугольник \( OO_1A \).