Задача №5: Шар и сечение под углом 60°

Задача №5 Дано: Шар с диаметром \( D = 16 \) см. Сечение проведено через конец диаметра. Угол между диаметром и плоскостью сечения \( \alpha = 60^\circ \). Найти: Площадь сечения \( S_{cech} \). Решение: 1) Найдем радиус шара \( R \): \[ R = \frac{D}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} \] 2) Сечением шара является круг. Пусть \( r \) — радиус этого круга. Рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через данный диаметр и перпендикулярное плоскости сечения. В этом сечении мы увидим окружность и хорду, которая является диаметром искомого сечения (\( d_{cech} = 2r \)). Один конец этой хорды совпадает с концом диаметра шара. Образуется прямоугольный треугольник (так как любой угол, опирающийся на диаметр окружности, равен \( 90^\circ \)), где: - Гипотенуза — диаметр шара \( D = 16 \) см. - Катет — диаметр сечения \( 2r \). - Угол между ними \( \alpha = 60^\circ \). 3) Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике: \[ 2r = D \cdot \cos(60^\circ) \] \[ 2r = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ см} \] Следовательно, радиус сечения \( r \): \[ r = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} \] 4) Вычислим площадь сечения (площадь круга): \[ S_{cech} = \pi r^2 \] \[ S_{cech} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ см}^2 \] Если подставить \( \pi \approx 3,14 \): \[ S_{cech} \approx 16 \cdot 3,14 = 50,24 \text{ см}^2 \] Ответ: \( 16\pi \text{ см}^2 \). Рисунок для тетради: 1. Нарисуйте окружность. Проведите в ней горизонтальный диаметр \( AB \). 2. Из точки \( A \) (конец диаметра) проведите хорду \( AC \) под углом \( 60^\circ \) к диаметру \( AB \). 3. Соедините точки \( C \) и \( B \). Угол \( ACB \) будет прямым (\( 90^\circ \)). 4. Отрезок \( AC \) — это диаметр вашего сечения. Нарисуйте вокруг него узкий овал, чтобы показать плоскость сечения.