Решение задачи: Наименьшее значение функции y = -x^3/3 + 9x + 5 на [-3; 3]

Решение задачи №5 Условие: Найдите наименьшее значение функции \( y = -\frac{x^3}{3} + 9x + 5 \) на отрезке \( [-3; 3] \). Решение: 1. Найдем производную функции: \[ y' = \left( -\frac{x^3}{3} + 9x + 5 \right)' = -\frac{3x^2}{3} + 9 = -x^2 + 9 \] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ -x^2 + 9 = 0 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -3 \] Обе точки являются концами заданного отрезка \( [-3; 3] \). 3. Вычислим значения функции на концах отрезка: При \( x = -3 \): \[ y(-3) = -\frac{(-3)^3}{3} + 9 \cdot (-3) + 5 = -\frac{-27}{3} - 27 + 5 = 9 - 27 + 5 = -13 \] При \( x = 3 \): \[ y(3) = -\frac{3^3}{3} + 9 \cdot 3 + 5 = -\frac{27}{3} + 27 + 5 = -9 + 27 + 5 = 23 \] 4. Сравним полученные значения. Наименьшее из них равно \(-13\). Ответ: -13. --- Решение задачи №6 Условие: Найдите наибольшее значение функции \( y = \frac{x^3}{3} - 9x - 7 \) на отрезке \( [-3; 3] \). Решение: 1. Найдем производную функции: \[ y' = \left( \frac{x^3}{3} - 9x - 7 \right)' = \frac{3x^2}{3} - 9 = x^2 - 9 \] 2. Найдем критические точки: \[ x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3 \] Точки совпадают с границами отрезка. 3. Вычислим значения функции: При \( x = -3 \): \[ y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 9 \cdot (-3) - 7 = \frac{-27}{3} + 27 - 7 = -9 + 27 - 7 = 11 \] При \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{3^3}{3} - 9 \cdot 3 - 7 = \frac{27}{3} - 27 - 7 = 9 - 27 - 7 = -25 \] 4. Наибольшее значение равно \(11\). Ответ: 11. --- Решение задачи №7 Условие: Найдите наименьшее значение функции \( y = (x+3)^2(x+5) - 1 \) на отрезке \( [-4; -1] \). Решение: 1. Найдем производную функции (используя правило производной произведения): \[ y' = ((x+3)^2)' \cdot (x+5) + (x+3)^2 \cdot (x+5)' \] \[ y' = 2(x+3) \cdot (x+5) + (x+3)^2 \cdot 1 \] Вынесем \( (x+3) \) за скобки: \[ y' = (x+3)(2(x+5) + (x+3)) = (x+3)(2x + 10 + x + 3) = (x+3)(3x + 13) \] 2. Найдем критические точки: \[ (x+3)(3x + 13) = 0 \] \[ x_1 = -3, \quad x_2 = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \] Точка \( x = -3 \) принадлежит отрезку \( [-4; -1] \). Точка \( x = -4\frac{1}{3} \) не принадлежит отрезку. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: При \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3+3)^2(-3+5) - 1 = 0 \cdot 2 - 1 = -1 \] При \( x = -4 \): \[ y(-4) = (-4+3)^2(-4+5) - 1 = (-1)^2 \cdot 1 - 1 = 1 - 1 = 0 \] При \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1+3)^2(-1+5) - 1 = 2^2 \cdot 4 - 1 = 16 - 1 = 15 \] 4. Наименьшее значение среди чисел \(-1, 0, 15\) — это \(-1\). Ответ: -1.