Решение задачи №7: Найти сторону равностороннего треугольника

Ниже представлено решение задач №7 и №8 в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Задача №7 Дано: \(\triangle MPR\) — правильный (равносторонний). \(RT \perp MP\), \(RT = 8\). Найти: \(x\) (сторона треугольника). Решение: 1. Так как \(\triangle MPR\) — правильный, то все его стороны равны: \(MP = PR = MR = x\). 2. В равностороннем треугольнике высота \(RT\) также является медианой. Следовательно, точка \(T\) делит сторону \(MP\) пополам: \[MT = TP = \frac{x}{2}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle MTR\) (\(\angle T = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[MT^2 + RT^2 = MR^2\] 4. Подставим известные значения: \[\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 8^2 = x^2\] \[\frac{x^2}{4} + 64 = x^2\] 5. Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону: \[x^2 - \frac{x^2}{4} = 64\] \[\frac{3x^2}{4} = 64\] \[3x^2 = 256\] \[x^2 = \frac{256}{3}\] \[x = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[x = \frac{16\sqrt{3}}{3}\] Ответ: \(x = \frac{16\sqrt{3}}{3}\). Задача №8 Дано: \(ABCD\) — прямоугольник. \(AC = 26\) (диагональ). \(AD = 10\). Найти: \(x\) (сторона \(CD\)). Решение: 1. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит \(BC = AD = 10\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ADC\) (\(\angle D = 90^\circ\)). 3. По теореме Пифагора: \[AD^2 + CD^2 = AC^2\] 4. Подставим значения: \[10^2 + x^2 = 26^2\] \[100 + x^2 = 676\] 5. Найдем \(x^2\): \[x^2 = 676 - 100\] \[x^2 = 576\] \[x = \sqrt{576}\] \[x = 24\] Ответ: \(x = 24\).