Решение: Спектральная плотность прямоугольного импульса

Задача: Найти спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса. 1) Аналитическая запись сигнала u(t) По графику видно, что импульс имеет амплитуду \( U_m = 8 \) В и длительность от \( -3 \) мкс до \( 3 \) мкс. Общая длительность импульса \( \tau = 6 \) мкс. Запишем функцию аналитически: \[ u(t) = \begin{cases} 8, & |t| \le 3 \cdot 10^{-6} \text{ с} \\ 0, & |t| > 3 \cdot 10^{-6} \text{ с} \end{cases} \] 2) Нахождение спектральной плотности S(jω) Спектральная плотность определяется через прямое преобразование Фурье: \[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-j\omega t} dt \] Подставим значения из графика: \[ S(j\omega) = \int_{-3 \cdot 10^{-6}}^{3 \cdot 10^{-6}} 8 \cdot e^{-j\omega t} dt = 8 \cdot \left[ \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-3 \cdot 10^{-6}}^{3 \cdot 10^{-6}} \] \[ S(j\omega) = \frac{8}{-j\omega} \left( e^{-j\omega \cdot 3 \cdot 10^{-6}} - e^{j\omega \cdot 3 \cdot 10^{-6}} \right) \] Используя формулу Эйлера \( \sin(x) = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j} \), получим: \[ S(j\omega) = \frac{8 \cdot 2}{\omega} \cdot \frac{e^{j\omega \cdot 3 \cdot 10^{-6}} - e^{-j\omega \cdot 3 \cdot 10^{-6}}}{2j} = \frac{16}{\omega} \sin(3 \cdot 10^{-6} \omega) \] Для удобства приведем к виду \( \text{si}(x) = \frac{\sin x}{x} \): \[ S(j\omega) = 16 \cdot 3 \cdot 10^{-6} \frac{\sin(3 \cdot 10^{-6} \omega)}{3 \cdot 10^{-6} \omega} = 48 \cdot 10^{-6} \text{si}(3 \cdot 10^{-6} \omega) \] 3) Амплитудный и фазовый спектры Амплитудный спектр \( A(\omega) \) — это модуль спектральной плотности: \[ A(\omega) = |S(j\omega)| = 48 \cdot 10^{-6} \left| \frac{\sin(3 \cdot 10^{-6} \omega)}{3 \cdot 10^{-6} \omega} \right| \] Фазовый спектр \( \phi(\omega) \) — это аргумент спектральной плотности. Так как функция \( S(j\omega) \) вещественная, фаза принимает значения 0 или \( \pi \) в зависимости от знака функции: \[ \phi(\omega) = \text{arg}(S(j\omega)) = \begin{cases} 0, & \text{если } S(j\omega) > 0 \\ \pm\pi, & \text{если } S(j\omega) < 0 \end{cases} \] Построение графиков (описание для тетради): График \( A(\omega) \): представляет собой затухающие "лепестки". Главный максимум находится в точке \( \omega = 0 \) и равен \( 48 \cdot 10^{-6} \). Первый нуль функции достигается при \( 3 \cdot 10^{-6} \omega = \pi \), то есть \( \omega = \frac{\pi}{3} \cdot 10^6 \) рад/с. График \( \phi(\omega) \): имеет вид "ступенек". На центральном лепестке (где функция положительна) фаза равна 0. На боковых лепестках, где функция отрицательна, фаза скачком меняется на \( \pi \).