Решение задачи: Анализ спектра и построение графиков

Для того чтобы построить графики в тетради, нам нужно рассчитать характерные точки (нули и максимумы) для полученных функций. 1) Построение амплитудного спектра \( S(\omega) \) Амплитудный спектр описывается формулой: \[ S(\omega) = 48 \cdot 10^{-6} \left| \frac{\sin(3 \cdot 10^{-6} \omega)}{3 \cdot 10^{-6} \omega} \right| \] Характерные точки для графика: - При \( \omega = 0 \) (основной максимум): \( S(0) = 48 \cdot 10^{-6} \) В·с. - Точки пересечения с осью \( \omega \) (нули спектра) возникают, когда \( \sin(3 \cdot 10^{-6} \omega) = 0 \): \[ 3 \cdot 10^{-6} \omega = n\pi \implies \omega_n = \frac{n\pi}{3 \cdot 10^{-6}} \] Первый ноль (\( n=1 \)): \( \omega_1 \approx 1,05 \cdot 10^6 \) рад/с. Второй ноль (\( n=2 \)): \( \omega_2 \approx 2,1 \cdot 10^6 \) рад/с. Вид графика: Нарисуйте оси. По вертикали \( S(\omega) \), по горизонтали \( \omega \). График выглядит как затухающие волны (лепестки), которые всегда находятся выше оси \( \omega \) (из-за модуля). Самый высокий лепесток в центре, последующие лепестки значительно ниже. 2) Построение фазового спектра \( \phi(\omega) \) Фазовый спектр прямоугольного импульса, симметричного относительно начала координат, определяется знаком функции под модулем: \[ \phi(\omega) = \text{arg}(S(j\omega)) \] Так как наш импульс четный, его спектральная плотность чисто вещественная. Фаза меняется скачком: - В главном лепестке (от \( -\omega_1 \) до \( \omega_1 \)): \( \phi(\omega) = 0 \). - В первом боковом лепестке (от \( \omega_1 \) до \( \omega_2 \)): \( \phi(\omega) = -\pi \) (или \( \pi \)). - Во втором боковом лепестке: \( \phi(\omega) = 0 \). Вид графика: Это ступенчатая линия. Проведите горизонтальную линию на уровне 0 от \( 0 \) до \( \omega_1 \). В точке \( \omega_1 \) сделайте пунктирный вертикальный спуск до уровня \( -\pi \) и ведите линию до \( \omega_2 \). В точке \( \omega_2 \) поднимитесь обратно на 0. Рекомендация для тетради: Обычно графики рисуют один под другим. Сверху — амплитудный спектр, снизу — фазовый, чтобы нули амплитудного спектра совпадали по вертикали с точками скачков фазы. По оси частот \( \omega \) удобнее использовать множитель \( 10^6 \), чтобы не писать много нулей.