Решение дифференциального уравнения y' + (3y + 1)ctg 3x = 0

Задание 4. Найти общее решение дифференциальных уравнений. а) \( y' + (3y + 1) \cdot \text{ctg } 3x = 0 \) Решение: 1. Заменим \( y' \) на \( \frac{dy}{dx} \) и перенесем второе слагаемое в правую часть: \[ \frac{dy}{dx} = -(3y + 1) \cdot \text{ctg } 3x \] 2. Разделим переменные (умножим на \( dx \) и разделим на \( 3y + 1 \)): \[ \frac{dy}{3y + 1} = -\text{ctg } 3x \, dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{3y + 1} = -\int \frac{\cos 3x}{\sin 3x} \, dx \] 4. Вычислим интегралы: Левая часть: \( \frac{1}{3} \ln|3y + 1| \) Правая часть: \( -\frac{1}{3} \ln|\sin 3x| + \ln C_1 \) Получаем: \[ \frac{1}{3} \ln|3y + 1| = -\frac{1}{3} \ln|\sin 3x| + \frac{1}{3} \ln C \] \[ \ln|3y + 1| = \ln \left| \frac{C}{\sin 3x} \right| \] 5. Потенцируем: \[ 3y + 1 = \frac{C}{\sin 3x} \] \[ 3y = \frac{C}{\sin 3x} - 1 \] \[ y = \frac{C}{3 \sin 3x} - \frac{1}{3} \] Ответ: \( y = \frac{C}{3 \sin 3x} - \frac{1}{3} \) --- б) \( e^{y-x^2} \cdot dy - 2x \cdot dx = 0 \) Решение: 1. Используем свойство степени \( e^{y-x^2} = e^y \cdot e^{-x^2} \): \[ e^y \cdot e^{-x^2} \, dy = 2x \, dx \] 2. Разделим переменные (умножим обе части на \( e^{x^2} \)): \[ e^y \, dy = 2x \cdot e^{x^2} \, dx \] 3. Проинтегрируем обе части: \[ \int e^y \, dy = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx \] 4. Заметим, что в правой части \( 2x \, dx = d(x^2) \): \[ \int e^y \, dy = \int e^{x^2} \, d(x^2) \] 5. Вычисляем интегралы: \[ e^y = e^{x^2} + C \] 6. Выразим \( y \), прологарифмировав обе части: \[ y = \ln(e^{x^2} + C) \] Ответ: \( y = \ln(e^{x^2} + C) \)