Решение дифференциального уравнения x²∂z/∂x + y²∂z/∂y = y

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка: \[ x^2 \frac{\partial z}{\partial x} + y^2 \frac{\partial z}{\partial y} = y \] Решение: 1. Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения характеристик): \[ \frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{y} \] 2. Найдем первый независимый интеграл из равенства первых двух дробей: \[ \frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{dx}{x^2} = \int \frac{dy}{y^2} \] \[ -\frac{1}{x} = -\frac{1}{y} + C_1 \] Отсюда получаем первый интеграл: \[ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = C_1 \] 3. Найдем второй независимый интеграл, используя вторую и третью дроби: \[ \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{y} \] Сократим на \( y \) (при \( y \neq 0 \)): \[ \frac{dy}{y} = dz \] Интегрируем: \[ \int dz = \int \frac{dy}{y} \] \[ z = \ln|y| + C_2 \] Отсюда получаем второй интеграл: \[ z - \ln|y| = C_2 \] 4. Общее решение уравнения записывается в виде произвольной дифференцируемой функции \( \Phi(C_1, C_2) = 0 \) или в явном виде \( C_2 = f(C_1) \): \[ z - \ln|y| = f\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) \] 5. Выразим \( z \): \[ z = \ln|y| + f\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) \] где \( f \) — произвольная дифференцируемая функция. Ответ: \[ z = \ln|y| + f\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) \]