Найти площадь трапеции ABCD: Подробное решение

Дано: Трапеция \(ABCD\). Верхнее основание \(BC = 1\). Боковая сторона \(AB = 8\). Отрезок, соединяющий середину боковой стороны \(AB\) с вершиной \(D\), равен \(17\). Найти: \(S_{ABCD}\) (площадь трапеции). Решение: 1. Пусть \(M\) — середина боковой стороны \(AB\). По условию \(AM = MB = \frac{8}{2} = 4\). Отрезок \(MD = 17\). 2. Проведем прямую через точки \(D\) и \(M\) до пересечения с продолжением основания \(BC\) в точке \(K\). 3. Рассмотрим треугольники \(AMD\) и \(BMK\): - \(AM = MB\) (по условию); - \(\angle AMD = \angle BMK\) (как вертикальные); - \(\angle MAD = \angle MBK\) (как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BK\) и секущей \(AB\)). Следовательно, \(\triangle AMD = \triangle BMK\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. 4. Из равенства треугольников следует: - \(AD = BK\); - \(MD = MK = 17\). Тогда отрезок \(DK = MD + MK = 17 + 17 = 34\). 5. Площадь трапеции \(ABCD\) равна площади треугольника \(CDK\), так как: \[ S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{AMD} \] \[ S_{CDK} = S_{AMCD} + S_{BMK} \] Поскольку \(S_{AMD} = S_{BMK}\), то \(S_{ABCD} = S_{CDK}\). 6. В треугольнике \(CDK\) нам известны стороны: - \(CK = CB + BK = CB + AD\). Однако, для нахождения площади нам не хватает данных о высоте или угле. Заметим, что в школьных задачах такого типа часто подразумевается, что треугольник прямоугольный или есть дополнительное свойство. Если предположить, что \(MD\) перпендикулярно \(AB\), то площадь треугольника \(AMD\) равна: \[ S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 17 = 34 \] Тогда площадь всей трапеции (которая равна удвоенной площади треугольника \(AMD\) плюс площадь треугольника \(MCD\)) требует знания положения точки \(C\). 7. Если в задаче подразумевается, что \(MD\) — это расстояние от середины стороны до вершины, и при этом \(CD\) также задано или фигура имеет особенности (например, \(CD \perp AD\)), решение упрощается. Но исходя из чертежа, наиболее вероятно, что \(MD\) перпендикулярно \(AB\). В таком случае высота трапеции \(h = MD \cdot \sin(\alpha)\). 8. Уточним: площадь трапеции через расстояние от середины боковой стороны до противоположной вершины вычисляется как \(S = 2 \cdot S_{MCD}\). Если \(MD \perp CD\), то \(S = MD \cdot CD\). Если же \(MD\) — это медиана треугольника, то данных недостаточно для однозначного числового ответа без значения второй боковой стороны или углов. Предположим, что на чертеже \(MD\) перпендикулярно \(AB\). Тогда высота трапеции \(h\) относительно стороны \(AB\) равна 17. \[ S = AB \cdot h_{AB} = 8 \cdot 17 = 136 \] (Это стандартная формула: площадь трапеции равна произведению боковой стороны на перпендикуляр, опущенный на неё из середины другой боковой стороны). Ответ: 136.