Как найти порядок подстановки: решение и пример

Для того чтобы найти порядок подстановки, необходимо сначала разложить её в произведение независимых циклов. Дана подстановка: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 7 & 6 & 9 & 2 & 5 \end{pmatrix} \in S_9 \] Разложим её на циклы: 1. Начнём с единицы: \( 1 \to 3 \), \( 3 \to 4 \), \( 4 \to 8 \), \( 8 \to 2 \), \( 2 \to 1 \). Получили цикл: \( (1, 3, 4, 8, 2) \). Длина цикла равна 5. 2. Возьмём следующее число, которого нет в первом цикле — 5: \( 5 \to 7 \), \( 7 \to 9 \), \( 9 \to 5 \). Получили цикл: \( (5, 7, 9) \). Длина цикла равна 3. 3. Осталось число 6: \( 6 \to 6 \). Это неподвижная точка или цикл длины 1: \( (6) \). Таким образом, подстановка \( A \) в виде произведения независимых циклов выглядит так: \[ A = (1, 3, 4, 8, 2)(5, 7, 9)(6) \] Порядок подстановки равен наименьшему общему кратному (НОК) длин её независимых циклов. Длины циклов: 5, 3 и 1. Вычисляем порядок: \[ ord(A) = \text{НОК}(5, 3, 1) \] Так как числа 5 и 3 являются простыми и взаимно простыми: \[ ord(A) = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 \] Ответ: Порядок подстановки равен 15.