Решение задачи: Оценка вероятности X > 1.5

Задание 6. Решите задачу. Случайная величина \( X \) имеет математическое ожидание \( M(X) = 1 \) и дисперсию \( D(X) = 0,04 \). Оцените вероятность события \( X > 1,5 \). Решение: Для решения данной задачи, когда известны и математическое ожидание, и дисперсия, используется неравенство Чебышёва. Оно позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания. Неравенство Чебышёва в одной из форм записи выглядит так: \[ P(|X - M(X)| \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \] 1. Определим величину отклонения \( \varepsilon \). Нам нужно оценить вероятность \( X > 1,5 \). Так как \( M(X) = 1 \), то отклонение составляет: \[ \varepsilon = 1,5 - 1 = 0,5 \] 2. Событие \( X > 1,5 \) является частью события \( |X - 1| \ge 0,5 \) (которое включает в себя и \( X \ge 1,5 \), и \( X \le 0,5 \)). Однако, если мы не знаем распределения, мы используем общую оценку для одной стороны. Для более точной оценки вероятности того, что величина превысит значение в одну сторону, часто используют одностороннее неравенство Чебышёва (неравенство Кантелли): \[ P(X - M(X) \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{D(X) + \varepsilon^2} \] 3. Подставим наши значения: \[ P(X - 1 \ge 0,5) \le \frac{0,04}{0,04 + 0,5^2} \] \[ P(X \ge 1,5) \le \frac{0,04}{0,04 + 0,25} \] \[ P(X \ge 1,5) \le \frac{0,04}{0,29} \] 4. Вычислим значение: \[ 0,04 : 0,29 \approx 0,1379... \] Если же использовать классическое (двустороннее) неравенство Чебышёва для грубой оценки: \[ P(|X - 1| \ge 0,5) \le \frac{0,04}{0,5^2} = \frac{0,04}{0,25} = 0,16 \] Так как \( P(X > 1,5) \) всегда меньше или равно вероятности двустороннего отклонения, значение 0,16 является верной верхней границей. Правильный вариант ответа: 0,16