Решение задачи: Оценка вероятности с помощью неравенства Чебышёва

Задание 7. Решите задачу. По статистическим данным, в среднем 87% людей в России умеют плавать. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что из 1000 случайных жителей России не менее 800 умеют плавать. Результат округлите до тысячных. Решение: Данная задача описывается биномиальным распределением, где: \( n = 1000 \) — количество испытаний (жителей); \( p = 0,87 \) — вероятность того, что житель умеет плавать; \( q = 1 - p = 0,13 \) — вероятность того, что не умеет. 1. Найдем математическое ожидание \( M(X) \) и дисперсию \( D(X) \): \[ M(X) = n \cdot p = 1000 \cdot 0,87 = 870 \] \[ D(X) = n \cdot p \cdot q = 1000 \cdot 0,87 \cdot 0,13 = 113,1 \] 2. Нам нужно оценить вероятность события \( X \ge 800 \). Это событие можно переписать через отклонение от среднего: \[ X - M(X) \ge 800 - 870 \] \[ X - 870 \ge -70 \] Заметим, что событие \( X \ge 800 \) является противоположным событию \( X < 800 \). Однако неравенство Чебышёва в классической форме оценивает вероятность выхода за пределы интервала: \[ P(|X - M(X)| \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \] Возьмем \( \varepsilon = 70 \) (отклонение от 870 до 800): \[ P(|X - 870| \ge 70) \le \frac{113,1}{70^2} = \frac{113,1}{4900} \approx 0,02308 \] 3. Нам нужно оценить вероятность того, что умеющих плавать "не менее 800". Событие \( |X - 870| < 70 \) означает, что \( 800 < X < 940 \). Если это условие выполняется, то условие "не менее 800" выполняется тем более. Вероятность противоположного события (что \( X \) попадет в интервал): \[ P(|X - 870| < 70) \ge 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \] \[ P \ge 1 - 0,02308 = 0,97692 \] Так как нас просят оценить вероятность того, что умеющих плавать будет не менее 800 (что включает в себя и среднее значение 870, и значения выше), мы используем оценку "снизу" для вероятности того, что величина не отклонится слишком сильно. 4. Округлим результат до тысячных: \[ 0,97692 \approx 0,977 \] Ответ: 0,977