Решение задачи по геометрии: треугольник NFG

Ниже представлены решения геометрических задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 (Треугольник \(NFG\)) Дано: \(FH\) — биссектриса, \(\angle FGN = 43^\circ\), \(\angle NHF = 91^\circ\). Найти: \(\angle NFG\), \(\angle FNG\). Решение: 1) Рассмотрим треугольник \(FHG\). Угол \(\angle FHG\) является смежным с углом \(\angle NHF\), значит: \[ \angle FHG = 180^\circ - \angle NHF = 180^\circ - 91^\circ = 89^\circ \] 2) В треугольнике \(FHG\) сумма углов равна \(180^\circ\). Найдем часть угла \(F\): \[ \angle HFG = 180^\circ - (\angle FHG + \angle FGN) = 180^\circ - (89^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ \] 3) Так как \(FH\) — биссектриса, то \(\angle NFH = \angle HFG = 48^\circ\). Тогда весь угол: \[ \angle NFG = 48^\circ \cdot 2 = 96^\circ \] 4) В треугольнике \(NFG\) найдем угол \(N\): \[ \angle FNG = 180^\circ - (\angle NFG + \angle FGN) = 180^\circ - (96^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 139^\circ = 41^\circ \] Ответ: \(\angle NFG = 96^\circ\), \(\angle FNG = 41^\circ\). Задача 2 (Треугольник \(ERT\)) Дано: \(\angle R = 63^\circ\), \(\angle E = 55^\circ\). \(ES\) и \(TA\) — биссектрисы, пересекаются в \(Q\). Найти: \(\angle AQE\). Решение: 1) Найдем угол \(T\) в треугольнике \(ERT\): \[ \angle T = 180^\circ - (\angle R + \angle E) = 180^\circ - (63^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ \] 2) Рассмотрим треугольник \(EQT\). В нем углы при основании \(ET\) равны половинам углов \(E\) и \(T\): \[ \angle QET = \frac{55^\circ}{2} = 27,5^\circ; \quad \angle QTE = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ \] 3) Угол \(\angle AQE\) является внешним углом треугольника \(EQT\) при вершине \(Q\). По свойству внешнего угла: \[ \angle AQE = \angle QET + \angle QTE = 27,5^\circ + 31^\circ = 58,5^\circ \] Ответ: \(\angle AQE = 58,5^\circ\). Задача 3 (Равнобедренный треугольник \(MNK\)) Дано: \(MN = NK\) (основание \(MK\)), \(KS\) — биссектриса, \(\angle MSK = 102^\circ\). Найти: \(\angle M\), \(\angle N\), \(\angle K\). Решение: 1) Пусть \(\angle M = \angle K = x\) (углы при основании равнобедренного треугольника). 2) Так как \(KS\) — биссектриса, то \(\angle MKS = \frac{x}{2}\). 3) В треугольнике \(MSK\) сумма углов равна \(180^\circ\): \[ x + \frac{x}{2} + 102^\circ = 180^\circ \] \[ 1,5x = 78^\circ \] \[ x = 52^\circ \] Значит, \(\angle M = 52^\circ\) и \(\angle K = 52^\circ\). 4) Найдем угол при вершине \(N\): \[ \angle N = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \] Ответ: \(\angle M = 52^\circ\), \(\angle N = 76^\circ\), \(\angle K = 52^\circ\).