Решение задачи: Найти угол RPM

Дано: \(KP\) — биссектриса \(\angle NKM\) \(MP = KP\) \(PR = RK\) \(\angle M = 55^{\circ}\) Найти: \(\angle RPM\) Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(MPK\). По условию \(MP = KP\), значит, треугольник \(MPK\) — равнобедренный с основанием \(MK\). Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[\angle MKP = \angle M = 55^{\circ}\] 2. Так как \(KP\) — биссектриса угла \(NKM\), то она делит его пополам: \[\angle NKP = \angle MKP = 55^{\circ}\] 3. Рассмотрим треугольник \(PRK\). По условию \(PR = RK\), значит, треугольник \(PRK\) — равнобедренный с основанием \(PK\). Углы при основании равны: \[\angle RPK = \angle RKP\] Так как \(\angle RKP\) — это тот же угол, что и \(\angle NKP\), то: \[\angle RPK = 55^{\circ}\] 4. Найдем угол \(\angle MPK\) в треугольнике \(MPK\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\): \[\angle MPK = 180^{\circ} - (\angle M + \angle MKP)\] \[\angle MPK = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 55^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\] 5. Искомый угол \(\angle RPM\) является частью угла \(\angle MPK\). Из рисунка видно, что: \[\angle MPK = \angle RPM + \angle RPK\] Отсюда: \[\angle RPM = \angle MPK - \angle RPK\] \[\angle RPM = 70^{\circ} - 55^{\circ} = 15^{\circ}\] Ответ: 15.