Решение задачи по геометрии: Найти угол RPM

Дано: \( KP \) — биссектриса \( \angle NKM \) \( MP = KP \) \( PR = RK \) \( \angle M = 55^{\circ} \) Найти: \( \angle RPM \) Решение: 1. Рассмотрим треугольник \( \triangle MPK \). По условию \( MP = KP \), следовательно, треугольник \( \triangle MPK \) — равнобедренный с основанием \( MK \). Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[ \angle MKP = \angle M = 55^{\circ} \] 2. Так как \( KP \) — биссектриса угла \( \angle NKM \), она делит его на два равных угла: \[ \angle NKP = \angle MKP = 55^{\circ} \] 3. Рассмотрим треугольник \( \triangle PRK \). По условию \( PR = RK \), следовательно, треугольник \( \triangle PRK \) — равнобедренный с основанием \( PK \). Углы при основании равны: \[ \angle RPK = \angle RKP \] Так как \( \angle RKP \) — это тот же угол, что и \( \angle NKP \), получаем: \[ \angle RPK = 55^{\circ} \] 4. Найдем угол \( \angle MPK \) в треугольнике \( \triangle MPK \). Сумма углов любого треугольника равна \( 180^{\circ} \): \[ \angle MPK = 180^{\circ} - (\angle M + \angle MKP) \] \[ \angle MPK = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 55^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \] 5. Искомый угол \( \angle RPM \) является частью угла \( \angle MPK \). Согласно рисунку: \[ \angle MPK = \angle RPM + \angle RPK \] Отсюда выражаем нужный нам угол: \[ \angle RPM = \angle MPK - \angle RPK \] \[ \angle RPM = 70^{\circ} - 55^{\circ} = 15^{\circ} \] Ответ: 15.