Решение задач на производные сложных функций. Вариант 8

Вариант 8. Нахождение производных сложных функций. Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. При вычислении производных используется правило дифференцирования сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). 1) \( y = (4x + 3)^3 \) \[ y' = 3(4x + 3)^2 \cdot (4x + 3)' = 3(4x + 3)^2 \cdot 4 = 12(4x + 3)^2 \] 2) \( y = (5 - 9x^2 + 8x)^5 \) \[ y' = 5(5 - 9x^2 + 8x)^4 \cdot (5 - 9x^2 + 8x)' = 5(5 - 9x^2 + 8x)^4 \cdot (-18x + 8) \] \[ y' = 10(4 - 9x)(5 - 9x^2 + 8x)^4 \] 3) \( y = 4(3x - 5)^2 \) \[ y' = 4 \cdot 2(3x - 5)^1 \cdot (3x - 5)' = 8(3x - 5) \cdot 3 = 24(3x - 5) \] 4) \( y = \frac{1}{(6x + 2)^2} = (6x + 2)^{-2} \) \[ y' = -2(6x + 2)^{-3} \cdot (6x + 2)' = -2(6x + 2)^{-3} \cdot 6 = -\frac{12}{(6x + 2)^3} \] 5) \( y = \frac{17}{(10 - 2x)^4} = 17(10 - 2x)^{-4} \) \[ y' = 17 \cdot (-4)(10 - 2x)^{-5} \cdot (10 - 2x)' = -68(10 - 2x)^{-5} \cdot (-2) = \frac{136}{(10 - 2x)^5} \] 6) \( y = 11\sqrt{3x + 9} \) \[ y' = 11 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x + 9}} \cdot (3x + 9)' = \frac{11 \cdot 3}{2\sqrt{3x + 9}} = \frac{33}{2\sqrt{3x + 9}} \] 7) \( y = \sqrt{\frac{x}{4} - 1} \) \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{4} - 1}} \cdot (\frac{x}{4} - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{4} - 1}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8\sqrt{\frac{x}{4} - 1}} \] 8) \( y = \sin(8x - \frac{\pi}{2}) \) \[ y' = \cos(8x - \frac{\pi}{2}) \cdot (8x - \frac{\pi}{2})' = 8\cos(8x - \frac{\pi}{2}) \] (Заметим, что по формулам приведения \( \sin(8x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(8x) \), тогда \( y' = 8\sin(8x) \), что эквивалентно результату выше). 9) \( y = 4\cos(4x + 2\pi) \) Так как \( \cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha \), то \( y = 4\cos(4x) \). \[ y' = 4 \cdot (-\sin(4x)) \cdot (4x)' = -16\sin(4x) \] 10) \( y = tg(8x - \frac{\pi}{9}) \) \[ y' = \frac{1}{\cos^2(8x - \frac{\pi}{9})} \cdot (8x - \frac{\pi}{9})' = \frac{8}{\cos^2(8x - \frac{\pi}{9})} \] 11) \( y = 2ctg(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{3}) \) \[ y' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{3})} \right) \cdot (\frac{x}{7} + \frac{\pi}{3})' = -\frac{2}{\sin^2(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{3})} \cdot \frac{1}{7} = -\frac{2}{7\sin^2(\frac{x}{7} + \frac{\pi}{3})} \] 12) \( y = 4\sin^4(5x + \frac{\pi}{6}) \) \[ y' = 4 \cdot 4\sin^3(5x + \frac{\pi}{6}) \cdot (\sin(5x + \frac{\pi}{6}))' \] \[ y' = 16\sin^3(5x + \frac{\pi}{6}) \cdot \cos(5x + \frac{\pi}{6}) \cdot (5x + \frac{\pi}{6})' \] \[ y' = 16\sin^3(5x + \frac{\pi}{6}) \cdot \cos(5x + \frac{\pi}{6}) \cdot 5 = 80\sin^3(5x + \frac{\pi}{6})\cos(5x + \frac{\pi}{6}) \]