Решение задачи на скалярное произведение векторов

На основе предоставленного изображения, решим задачи на нахождение скалярного произведения векторов через их координаты и угол между ними. Задача №1 Дано: Вектор \( \vec{a} \) с координатами \( (2\sqrt{3}; 1) \). Вектор \( \vec{b} \) с координатами \( (5; 1) \). Угол между векторами \( \alpha = 150^\circ \). Решение: Для нахождения скалярного произведения по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha \), сначала найдем длины (модули) векторов. 1. Находим длину вектора \( \vec{a} \): \[ |\vec{a}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 1} = \sqrt{13} \] 2. Находим длину вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \] 3. Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{26} \cdot \cos 150^\circ \] Так как \( \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \sqrt{26} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \), получаем: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 13 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{13\sqrt{6}}{2} \] Задача №2 Дано: Вектор \( \vec{a} \) с координатами \( (2; 2) \). Вектор \( \vec{b} \) с координатами \( (3\sqrt{3}; 3) \). Угол между векторами \( \alpha = 30^\circ \). Решение: 1. Находим длину вектора \( \vec{a} \): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Находим длину вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \] 3. Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos 30^\circ \] Так как \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{6} \] Задача №3 Дано: Вектор \( \vec{a} \) с координатами \( (7; -7) \). Вектор \( \vec{b} \) с координатами \( (4\sqrt{2}; 4) \). Угол между векторами \( \alpha = 135^\circ \). Решение: 1. Находим длину вектора \( \vec{a} \): \[ |\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \] 2. Находим длину вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \] 3. Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 7\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 135^\circ \] Так как \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 28\sqrt{6} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -14\sqrt{12} = -14 \cdot 2\sqrt{3} = -28\sqrt{3} \]