Решение задач на скалярное произведение векторов

Решим задачи на действия с векторами, заданными своими координатами. Задача №20 Дано: \( \vec{A} = (-20; 3) \) \( \vec{B} = (-2; -6) \) \( \vec{C} = (-2; 6) \) Найти: \( (\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{C} \) Решение: 1. Найдем координаты вектора \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{B} \), складывая соответствующие координаты: \[ \vec{D} = (-20 + (-2); 3 + (-6)) = (-22; -3) \] 2. Найдем скалярное произведение вектора \( \vec{D} \) и вектора \( \vec{C} \): \[ \vec{D} \cdot \vec{C} = (-22) \cdot (-2) + (-3) \cdot 6 = 44 - 18 = 26 \] Ответ: 26. Задача №21 Дано: \( \vec{A} = (-3; -9) \) \( \vec{B} = (2; -5) \) \( \vec{C} = (3; -7) \) Найти: \( (\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{C} \) Решение: 1. Найдем координаты вектора \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} \), вычитая соответствующие координаты: \[ \vec{D} = (-3 - 2; -9 - (-5)) = (-5; -4) \] 2. Найдем скалярное произведение вектора \( \vec{D} \) и вектора \( \vec{C} \): \[ \vec{D} \cdot \vec{C} = (-5) \cdot 3 + (-4) \cdot (-7) = -15 + 28 = 13 \] Ответ: 13. Задача №22 Дано: \( \vec{A} = (8; -3) \) \( \vec{B} = (-27; 22) \) \( \vec{C} = (-29; 2) \) Найти: \( \vec{A} \cdot (\vec{B} - \vec{C}) \) Решение: 1. Найдем координаты вектора \( \vec{D} = \vec{B} - \vec{C} \): \[ \vec{D} = (-27 - (-29); 22 - 2) = (2; 20) \] 2. Найдем скалярное произведение вектора \( \vec{A} \) и вектора \( \vec{D} \): \[ \vec{A} \cdot \vec{D} = 8 \cdot 2 + (-3) \cdot 20 = 16 - 60 = -44 \] Ответ: -44.