Решение краевой задачи: y'' - λy = 0, y(0) = y(2) = 0

Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи: \[ y'' - \lambda y = 0, \quad 0 < x < 2 \] \[ y(0) = y(2) = 0 \] Решение: Данная задача является задачей Штурма-Лиувилля. Рассмотрим три возможных случая для параметра \( \lambda \). 1. Случай \( \lambda > 0 \). Пусть \( \lambda = k^2 \), где \( k > 0 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ y'' - k^2 y = 0 \] Общее решение имеет вид: \[ y(x) = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} \] Используем граничные условия: \[ y(0) = C_1 + C_2 = 0 \implies C_2 = -C_1 \] \[ y(2) = C_1 e^{2k} + C_2 e^{-2k} = C_1 (e^{2k} - e^{-2k}) = 0 \] Так как \( e^{2k} - e^{-2k} \neq 0 \) при \( k > 0 \), то \( C_1 = 0 \) и \( C_2 = 0 \). В этом случае есть только тривиальное решение \( y(x) = 0 \), которое не является собственной функцией. 2. Случай \( \lambda = 0 \). Уравнение принимает вид: \[ y'' = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 x + C_2 \] Граничные условия: \[ y(0) = C_2 = 0 \] \[ y(2) = 2C_1 + C_2 = 2C_1 = 0 \implies C_1 = 0 \] Снова получаем только тривиальное решение. 3. Случай \( \lambda < 0 \). Пусть \( \lambda = -k^2 \), где \( k > 0 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ y'' + k^2 y = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) \] Граничные условия: \[ y(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 0 \implies C_1 = 0 \] Тогда \( y(x) = C_2 \sin(kx) \). Применим второе условие: \[ y(2) = C_2 \sin(2k) = 0 \] Для существования нетривиальных решений (\( C_2 \neq 0 \)) необходимо, чтобы: \[ \sin(2k) = 0 \] Отсюда: \[ 2k = n\pi, \quad n = 1, 2, 3, \dots \] \[ k_n = \frac{n\pi}{2} \] Найдем собственные значения \( \lambda_n \): \[ \lambda_n = -k_n^2 = -\left( \frac{n\pi}{2} \right)^2 = -\frac{n^2 \pi^2}{4}, \quad n = 1, 2, 3, \dots \] Найдем соответствующие собственные функции \( y_n(x) \): Подставим \( k_n \) в выражение для \( y(x) \): \[ y_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{2} \right), \quad n = 1, 2, 3, \dots \] Ответ: Собственные значения: \( \lambda_n = -\frac{n^2 \pi^2}{4} \), где \( n \in \mathbb{N} \). Собственные функции: \( y_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{2} \right) \).