Хорошо, давайте решим эту задачу по статике ферм методом Риттера.
Задача: Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 фермы способом Риттера.
Дано: \(P_1 = 10\) кН, \(P_2 = 20\) кН, \(P_3 = 30\) кН.
Длина пролета фермы \(L = 6a\).
Высота фермы в центральной части \(h = a\).
Высота фермы в правой части \(h_2 = a/2\).
Для удобства решения, сначала пронумеруем узлы фермы.
Пусть левый опорный узел будет 1, верхний узел над ним 2.
Далее по верхнему поясу: 3, 4, 5, 6.
По нижнему поясу: 7 (под узлом 2), 8 (под узлом 3), 9 (под узлом 4), 10 (под узлом 5), 11 (под узлом 6).
Правый опорный узел 12.
Стержни, которые нужно найти:
Стержень 1 - это нижний пояс между узлами 9 и 10.
Стержень 2 - это раскос между узлами 9 и 5.
Стержень 3 - это верхний пояс между узлами 4 и 5.
Стержень 4 - это вертикальный стержень между узлами 2 и 7. (Похоже, что на рисунке стержень 4 - это вертикальный стержень между узлами 2 и 7, но по расположению он ближе к левой опоре. Давайте уточним, что стержень 4 - это вертикальный стержень, на который действует сила \(P_3\). Если это не так, то нужно будет пересмотреть нумерацию).
Стержень 5 - это раскос между узлами 10 и 6.
Предположим, что стержни 1, 2, 3, 4, 5 на рисунке соответствуют:
1 - нижний пояс, второй пролет справа от центра.
2 - раскос, идущий вверх вправо от узла нижнего пояса.
3 - верхний пояс, второй пролет справа от центра.
4 - вертикальный стержень, на который действует \(P_3\).
5 - раскос, идущий вниз вправо от узла верхнего пояса.
Давайте перерисуем ферму с обозначением узлов и сил.
Узлы:
Левая опора A (шарнирно-неподвижная).
Правая опора B (шарнирно-подвижная).
Расстояния между узлами по горизонтали:
Все пролеты по нижнему поясу равны \(a\).
Всего 6 пролетов, поэтому общая длина \(6a\).
Высоты:
Высота в центральной части \(h = a\).
Высота в правой части \(h_2 = a/2\).
Силы:
\(P_1 = 10\) кН, горизонтальная, приложена к верхнему узлу, направлена вправо.
\(P_2 = 20\) кН, вертикальная, приложена к нижнему узлу, направлена вниз.
\(P_3 = 30\) кН, вертикальная, приложена к нижнему узлу, направлена вниз.
1. Определение опорных реакций
Сначала определим опорные реакции в точках A и B.
Пусть \(R_{Ax}\) и \(R_{Ay}\) - горизонтальная и вертикальная реакции в точке A.
Пусть \(R_{By}\) - вертикальная реакция в точке B.
Уравнения равновесия:
1. Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю:
\[ \sum F_x = 0 \]
\[ R_{Ax} + P_1 = 0 \]
\[ R_{Ax} = -P_1 = -10 \text{ кН} \]
Знак минус означает, что \(R_{Ax}\) направлена влево.
2. Сумма моментов всех сил относительно точки A равна нулю:
\[ \sum M_A = 0 \]
Для этого нужно знать точные координаты приложения сил.
Предположим, что ферма имеет 6 панелей по \(a\).
Узел приложения \(P_1\): 2-й узел сверху слева. Координаты \((2a, a)\).
Узел приложения \(P_3\): 2-й узел снизу слева. Координаты \((2a, 0)\).
Узел приложения \(P_2\): 5-й узел снизу слева. Координаты \((5a, 0)\).
Моменты относительно точки A:
\(P_1\) создает момент по часовой стрелке: \(P_1 \cdot a\)
\(P_3\) создает момент по часовой стрелке: \(P_3 \cdot 2a\)
\(P_2\) создает момент по часовой стрелке: \(P_2 \cdot 5a\)
\(R_{By}\) создает момент против часовой стрелки: \(R_{By} \cdot 6a\)
\[ P_1 \cdot a + P_3 \cdot 2a + P_2 \cdot 5a - R_{By} \cdot 6a = 0 \]
\[ 10 \cdot a + 30 \cdot 2a + 20 \cdot 5a - R_{By} \cdot 6a = 0 \]
\[ 10a + 60a + 100a - 6a \cdot R_{By} = 0 \]
\[ 170a = 6a \cdot R_{By} \]
\[ R_{By} = \frac{170a}{6a} = \frac{170}{6} = \frac{85}{3} \approx 28.33 \text{ кН} \]
\(R_{By}\) направлена вверх.
3. Сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю:
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ R_{Ay} - P_3 - P_2 + R_{By} = 0 \]
\[ R_{Ay} - 30 - 20 + \frac{85}{3} = 0 \]
\[ R_{Ay} - 50 + \frac{85}{3} = 0 \]
\[ R_{Ay} = 50 - \frac{85}{3} = \frac{150 - 85}{3} = \frac{65}{3} \approx 21.67 \text{ кН} \]
\(R_{Ay}\) направлена вверх.
Проверка:
\[ R_{Ax} = -10 \text{ кН} \]
\[ R_{Ay} = \frac{65}{3} \text{ кН} \]
\[ R_{By} = \frac{85}{3} \text{ кН} \]
2. Определение усилий в стержнях методом Риттера
Метод Риттера заключается в рассечении фермы на две части и рассмотрении равновесия одной из частей. При этом линия рассечения должна пересекать не более трех стержней, усилия в которых неизвестны и не параллельны.
2.1. Усилие в стержне 4
Стержень 4 - это вертикальный стержень, на который действует сила \(P_3\).
Давайте рассечем ферму вертикальной плоскостью, проходящей через стержень 4, и еще два стержня, например, верхний и нижний пояс.
Предположим, что стержень 4 - это вертикальный стержень, расположенный на расстоянии \(2a\) от опоры A.
Рассечем ферму по линии, пересекающей стержень 4, верхний пояс (пусть это будет стержень \(S_{верх}\)) и нижний пояс (пусть это будет стержень \(S_{низ}\)).
Рассмотрим левую часть фермы.
Точка момента для определения усилия в стержне 4: точка пересечения верхнего и нижнего поясов, которые пересекаются линией рассечения. В данном случае, это точка на нижнем поясе, где приложен \(P_3\), или точка на верхнем поясе, где приложен \(P_1\).
Если стержень 4 - это вертикальный стержень, на который действует \(P_3\), то он соединяет узел верхнего пояса (пусть это будет узел 3) и узел нижнего пояса (пусть это будет узел 8).
Рассечем ферму по стержню 4, стержню верхнего пояса (между узлами 3 и 4) и стержню нижнего пояса (между узлами 8 и 9).
Рассмотрим левую часть.
Возьмем сумму моментов относительно узла 4 (верхний узел, к которому примыкает стержень верхнего пояса, пересеченный линией рассечения).
Расстояние от узла A до узла 4 по горизонтали \(3a\).
Расстояние от узла A до узла 8 по горизонтали \(2a\).
Высота фермы в этом месте \(a\).
\[ \sum M_{узла\_4} = 0 \]
\[ R_{Ay} \cdot 3a - R_{Ax} \cdot a - P_3 \cdot (3a - 2a) - S_4 \cdot (3a - 2a) = 0 \]
Здесь \(S_4\) - усилие в стержне 4.
\[ \frac{65}{3} \cdot 3a - (-10) \cdot a - 30 \cdot a - S_4 \cdot a = 0 \]
\[ 65a + 10a - 30a - S_4 \cdot a = 0 \]
\[ 45a - S_4 \cdot a = 0 \]
\[ S_4 = 45 \text{ кН} \]
Положительный знак означает, что стержень 4 растянут.
2.2. Усилие в стержне 1
Стержень 1 - это нижний пояс, расположенный между узлами 9 и 10.
Рассечем ферму по стержню 1, стержню 2 и стержню 3.
Рассмотрим правую часть фермы.
Точка момента для определения усилия в стержне 1: верхний узел, к которому примыкают стержни 2 и 3. Пусть это будет узел 5.
Расстояние от узла B до узла 5 по горизонтали \(2a\).
Высота фермы в этом месте \(a\).
\[ \sum M_{узла\_5} = 0 \]
\[ R_{By} \cdot 2a - P_2 \cdot (2a - a) - S_1 \cdot a = 0 \]
Здесь \(S_1\) - усилие в стержне 1.
\[ \frac{85}{3} \cdot 2a - 20 \cdot a - S_1 \cdot a = 0 \]
\[ \frac{170}{3}a - 20a - S_1 \cdot a = 0 \]
\[ \left(\frac{170}{3} - 20\right)a - S_1 \cdot a = 0 \]
\[ \left(\frac{170 - 60}{3}\right)a - S_1 \cdot a = 0 \]
\[ \frac{110}{3}a - S_1 \cdot a = 0 \]
\[ S_1 = \frac{110}{3} \approx 36.67 \text{ кН} \]
Положительный знак означает, что стержень 1 растянут.
2.3. Усилие в стержне 3
Стержень 3 - это верхний пояс, расположенный между узлами 4 и 5.
Рассечем ферму по стержню 1, стержню 2 и стержню 3.
Рассмотрим правую часть фермы.
Точка момента для определения усилия в стержне 3: нижний узел, к которому примыкают стержни 1 и 2. Пусть это будет узел 9.
Расстояние от узла B до узла 9 по горизонтали \(3a\).
Высота фермы в этом месте \(a\).
\[ \sum M_{узла\_9} = 0 \]
\[ R_{By} \cdot 3a - P_2 \cdot (3a - a) - S_3 \cdot a = 0 \]
Здесь \(S_3\) - усилие в стержне 3.
\[ \frac{85}{3} \cdot 3a - 20 \cdot 2a - S_3 \cdot a = 0 \]
\[ 85a - 40a - S_3 \cdot a = 0 \]
\[ 45a - S_3 \cdot a = 0 \]
\[ S_3 = 45 \text{ кН} \]
Положительный знак означает, что стержень 3 растянут.
2.4. Усилие в стержне 2
Стержень 2 - это раскос, идущий от узла 9 (нижний пояс) к узлу 5 (верхний пояс).
Рассечем ферму по стержню 1, стержню 2 и стержню 3.
Рассмотрим правую часть фермы.
Для определения усилия в стержне 2, возьмем сумму проекций на вертикальную ось Y.
Угол наклона стержня 2:
Горизонтальная проекция \(a\). Вертикальная проекция \(a\).
Значит, угол \(\alpha = 45^\circ\). \(\sin \alpha = \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ R_{By} - P_2 + S_2 \sin \alpha = 0 \]
\[ \frac{85}{3} - 20 + S_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \]
\[ \frac{85 - 60}{3} + S_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \]
\[ \frac{25}{3} + S_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \]
\[ S_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{25}{3} \]
\[ S_2 = -\frac{25}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{50}{3\sqrt{2}} = -\frac{50\sqrt{2}}{6} = -\frac{25\sqrt{2}}{3} \approx -11.79 \text{ кН} \]
Отрицательный знак означает, что стержень 2 сжат.
2.5. Усилие в стержне 5
Стержень 5 - это раскос, идущий от узла 10 (нижний пояс) к узлу 6 (верхний пояс).
Рассечем ферму по стержню 5, стержню верхнего пояса (между узлами 5 и 6) и стержню нижнего пояса (между узлами 10 и 11).
Рассмотрим правую часть фермы.
Угол наклона стержня 5:
Горизонтальная проекция \(a\). Вертикальная проекция \(a/2\).
Длина стержня \(L_5 = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\).
\(\sin \beta = \frac{a/2}{L_5} = \frac{a/2}{a\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
\(\cos \beta = \frac{a}{L_5} = \frac{a}{a\sqrt{5}/2} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).
Возьмем сумму моментов относительно узла 6 (верхний узел, к которому примыкает стержень верхнего пояса, пересеченный линией рассечения).
Расстояние от узла B до узла 6 по горизонтали \(a\).
Расстояние от узла B до узла 10 по горизонтали \(2a\).
Высота фермы в этом месте \(a/2\).
\[ \sum M_{узла\_6} = 0 \]
\[ R_{By} \cdot a - S_5 \cdot \cos \beta \cdot (a/2) - S_5 \cdot \sin \beta \cdot a = 0 \]
Это не совсем удобно. Проще взять сумму проекций на вертикальную ось Y.
Рассечем ферму по стержню 5, стержню верхнего пояса (между узлами 5 и 6) и стержню нижнего пояса (между узлами 10 и 11).
Рассмотрим правую часть фермы.
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ R_{By} + S_5 \sin \beta = 0 \]
\[ \frac{85}{3} + S_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = 0 \]
\[ S_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{85}{3} \]
\[ S_5 = -\frac{85\sqrt{5}}{3} \approx -63.35 \text{ кН} \]
Отрицательный знак означает
