Решение задачи: размещение тэшек в прямоугольнике 6x22

Решение: 1. Оценка сверху. Площадь прямоугольника размером \(6 \times 22\) составляет: \[S = 6 \cdot 22 = 132 \text{ клетки.}\] Каждая фигура «тэшка» состоит из 4 клеток. Следовательно, максимально возможное количество фигур не может превышать: \[N \le \frac{132}{4} = 33 \text{ штуки.}\] 2. Раскраска и уточнение оценки. Раскрасим прямоугольник в шахматном порядке. В нем будет 66 черных и 66 белых клеток. Заметим, что любая «тэшка» при любой ориентации всегда занимает 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого цвета (например, 3 черных и 1 белую или наоборот). Пусть \(k\) — количество фигур, занимающих 3 черные клетки, а \(m\) — количество фигур, занимающих 3 белые клетки. Тогда общее количество клеток каждого цвета выражается уравнениями: Для черных клеток: \(3k + m = 66\) Для белых клеток: \(k + 3m = 66\) Вычтем из первого уравнения второе: \[(3k + m) - (k + 3m) = 66 - 66\] \[2k - 2m = 0 \Rightarrow k = m\] Подставим \(k = m\) в любое уравнение: \[3k + k = 66 \Rightarrow 4k = 66\] Число 66 не делится нацело на 4 (\(66 / 4 = 16,5\)). Это означает, что заполнить прямоугольник полностью (использовать 33 фигуры) невозможно. Ближайшее целое число фигур, для которого уравнение может иметь решение в целых числах — это 32 (тогда \(3k + m \le 66\) и \(k + 3m \le 66\)). При \(k = m = 16\) получаем \(16 \cdot 4 = 64\) клетки каждого цвета, что меньше 66. Таким образом, максимальное число фигур не более 32. 3. Пример. Разделим прямоугольник \(6 \times 22\) на блоки. Заметим, что прямоугольник \(2 \times 4\) можно полностью выложить двумя «тэшками», составив из них прямоугольник (они смыкаются «замком»). Прямоугольник \(6 \times 22\) можно разбить на три полоски \(2 \times 22\). В каждой полоске \(2 \times 22\) можно разместить 5 блоков по \(2 \times 4\), что даст 10 фигур на полоску. Итого \(10 \cdot 3 = 30\). Однако эффективнее разбить на блоки \(4 \times 4\). В квадрат \(4 \times 4\) помещается 4 фигуры. В прямоугольнике \(6 \times 22\) можно выделить зону \(4 \times 20\), состоящую из пяти квадратов \(4 \times 4\), что дает \(5 \cdot 4 = 20\) фигур. Оставшуюся Г-образную область также можно плотно заполнить. Оптимальный способ: прямоугольник \(6 \times 22\) разбивается на 11 блоков размером \(6 \times 2\). В каждом блоке \(6 \times 2\) (12 клеток) можно разместить 3 фигуры (12 клеток). \(11 \cdot 3 = 33\), но мы доказали, что 33 нельзя. При размещении в блоках \(6 \times 2\) по 3 фигуры, в каждом блоке остается лишняя клетка или нарушается шахматный баланс. Максимальное количество — 32 фигуры. Пример строится путем заполнения прямоугольника \(4 \times 22\) (это 11 блоков \(4 \times 2\), в каждом по 2 фигуры, итого 22) и добавления в оставшуюся полосу \(2 \times 22\) еще 10 фигур. Ответ: 32.