Решение задачи: Угол между биссектрисами n-угольника равен 40°

Задание: Биссектрисы двух внутренних соседних углов правильного n-угольника пересекаются под углом в \( 40^{\circ} \). Сколько углов в этом многоугольнике? Решение для тетради: 1. Рассмотрим треугольник \( BOC \), образованный стороной многоугольника \( BC \) и биссектрисами углов \( B \) и \( C \). Точка \( O \) — точка пересечения биссектрис. 2. По условию угол \( \angle BOC = 40^{\circ} \). 3. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, сумма двух других углов треугольника \( BOC \): \[ \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \] 4. Так как многоугольник правильный, все его внутренние углы равны. Обозначим внутренний угол многоугольника как \( \beta \). Биссектрисы делят эти углы пополам, значит: \[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{\beta}{2} \] 5. Из этого следует: \[ \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = 140^{\circ} \Rightarrow \beta = 140^{\circ} \] Внутренний угол правильного n-угольника равен \( 140^{\circ} \). 6. Используем формулу внутреннего угла правильного n-угольника: \[ \beta = \frac{180^{\circ} \cdot (n - 2)}{n} \] 7. Подставим значение \( 140^{\circ} \) и решим уравнение: \[ 140 = \frac{180(n - 2)}{n} \] \[ 140n = 180n - 360 \] \[ 40n = 360 \] \[ n = 9 \] Ответ: 9